判别式与韦达定理,二次函数,复习巩固:,（1）,( 2 ),( 3 ),利用求根公式解下列方程：,通过上面几个方程的解的情况，你发现了什么结论？,对于一元二次方程ax2bxc0（a0）来说， b24ac称为根的判别式，记为：,（1）当=b24ac0时，原方程有两个不相等实数根 x1，2,（2）当=b24ac0时，原方程有两个相等实数根 x1x2,（3）当=b24ac0时，,原方程没有实数根,例1 、 判定方程根的情况（其中a为常数） 如果方程有实数根，写出方程的实数根 （1）x2ax10 （2）x22xa0 解（1）a241(1)a240， 所以方程一定有两个不等的实数根,（2）2241a44a4(1a)， 当0，即a1时，方程有两个不等实根,，,当0，即a1时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即a1时，方程没有实数根 分类讨论是初中数学中重要的思想方法.,（1）x2-7x+12=0,(2)x2+3x-4=0,(3) 2x2+3x-2=0,解下列方程并完成填空：,3,4,12,7,1,-3,- 4,- 4,-1,-,-2,根与系数的关系（韦达定理）的发现过程,通过上面几个方程的解的情况，你又发现了什么结论？,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2 =,=,=,=,对于一元二次方程ax2bxc0（a0）来说， 当= b24ac0时，方程有两个不相等的实数根,则,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1+x2= , X1x2=,-,注：能用公式的前提条件为b2-4ac0,如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2， 那么 X1+X2= = X1X2 = =,P,q,特殊情况：当二次项系数a=1 时,例2 、已知方程,的一个根是2，求它的另一个根及k的值,解法一：2是方程的一个根， 522k260，k7 方程为5x27x60，解得x12，x2,所以，方程的另一个根为,解法二：设方程另一个根为x1，则 2x1,x1,由 （,）2,，得 k7,，k的值为7,例3、已知关于x方程x22(m2)xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比 两个根的积大21，求m的值,解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221， 即 2(m2)23(m24)21， 化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17 当m1时，方程为x26x50，满足0； 当m17时，方程为x230x2930，0(舍) 综上，m17,例4、若x1和x2分别是方程2x25x30的两根 （1）求| x1x2|的值； （2）求,（3）求x13x23的值；,的值；,37 9,的值,（4）求,例5、若关于x的方程x2xa40的一根 大于零、另一根小于零，求实数a取值范围 解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40,得 a4， a的取值范围是a4,常用结论1:若ax2bxc0 (a0 0)时 （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,解:由已知,=,即,m0 m-10,0m1,补讲：方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,一正根， 一负根,0 X1X20,两个正根,0 X1X20 X1+X20,两个负根,0 X1X20 X1+X20,常用结论2：,