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1、如图,六边形ABCDEF内接于半径为r(常数)的O,其中AD为直径,且AB=CD=DE=FA.ABCDEFO(1)当BAD=75时,求的长;(2)求证:BCADFE;(3)设AB=,求六边形ABCDEF的周长L关于的函数关系式,并指出为何值时,L取得最大值.2、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,1),且b=4ac (1) 求抛物线的解析式;(2) 在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在说明理由;若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标;(3) 根据(2)小题的结论,你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系? OxyA第2题图B初三数学兴趣小组3.71、如图,六边形ABCDEF内接于半径为r(常数)的O,其中AD为直径,且AB=CD=DE=FA.ABCDEFO(1)当BAD=75时,求的长;(2)求证:BCADFE;(3)设AB=,求六边形ABCDEF的周长L关于的函数关系式,并指出为何值时,L取得最大值.1(1)连结OB、OC,由BAD=75,OA=OB知AOB=30,(1分)AB=CD,COD=AOB=30,BOC=120,(2分)故的长为(3分)(2)连结BD,AB=CD,ADB=CBD,BCAD,(5分)同理EFAD,从而BCADFE(6分)(3)过点B作BMAD于M,由(2)知四边形ABCD为等腰梯形,从而BC=AD-2AM=2r-2AM(7分)AD为直径,ABD=90,易得BAMDABAM=,BC=2r-,同理EF=2r-(8分)L=4x+2(2r-)=,其中0x (9分)当x=r时,L取得最大值6r(10分)2、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,1),且b=4ac (1) 求抛物线的解析式;(2) 在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在说明理由;若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标;(3) 根据(2)小题的结论,你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?OxyA第2题图B第2题图OxyACBPP1DP2P 2、解:(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1 又b=-4ac, 顶点A(-,0), -=2c=2A(2,0) 2分 将A点坐标代入抛物线解析式,得4a+2b+1=0 , 解得a =,b =-1. 故抛物线的解析式为y=x2-x+1 4分 另解: 由抛物线过B(0,1) 得c=1又b2-4ac=0, b=-4ac,b=-1 2分 a=,故y=x-x+1 4分 (2)假设符合题意的点C存在,其坐标为C(x,y), 作CDx轴于D ,连接AB、ACA在以BC为直径的圆上,BAC=90 AOBCDA OBCD=OAAD 即1y=2(x-2), y=2x-4 6分 由 解得x1=10,x2=2 符合题意的点C存在,且坐标为 (10,16),或(2,0) 8分 P为圆心,P为BC中点 当点C坐标为 (10,16)时,取OD中点P1 ,连PP1 ,则PP1为梯形OBCD中位线PP1=(OB+CD)=D (10,0),P1 (5,0),P (5, ) 当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P2 ,连PP2 ,则PP2为OAB的中位线PP2=OB=A (2,0),P2(1,0), P (1,)故点P坐标为(5, ),或(1,)10分(3)设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1),P(x2,y2),C(x3,y3),由(2)可知:
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