,万有引力定律的应用,一、天体质量和密度的计算,1.求天体质量的思路 绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动,做圆周运动的天体(或卫星)的向心力由中心天体对它的万有引力提供,利用此关系建立方程求中心天体的质量.,2.计算天体的质量 下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方 法： (1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物 体的重力近似等于地球对物体的引力，得 解得地球质量为,(2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动,3.计算天体的密度 若天体的半径为R，则天体的密度 将 代入上式得： 当卫星环绕天体表面附近运动时，其轨道半径r近似等于天 体半径R，则,(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体.注意方法的拓展应用.明确计算出的是中心天体的质量. (2)要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若绕近地轨道运行，则有R=r.,【典例1】(2011安徽高考)(1)开普勒行星运动第三定律 指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它 的公转周期T的二次方成正比，即 k是一个对所有行 星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请 你推导出太阳系中该常量k的表达式.已知引力常量为G，太 阳的质量为M太. (2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体 的引力系统(如地月系统)都成立.经测定月地距离为 3.84108 m，月球绕地球运动的周期为2.36106 s，试 计算地球的质量M地.(G=6.6710-11 Nm2/kg2，结果保留 一位有效数字),【解题指导】,【标准解答】(1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道 半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定 律有 于是有 即 (2)在地月系统中， 得 解得M地=61024 kg 答案：(1) (2)61024 kg,【规律方法】天体质量的求解方法 应用万有引力计算某个天体的质量，有两种方法： 一种是知道这个天体的表面的重力加速度和半径，根据公 式 求解；另一种方法是若知道某个天体的一颗行 星(或卫星)运动的周期T和轨道半径r,利用公式 求解.,【变式训练】(2011福建高考)“嫦娥二号”是我国月球 探测第二期工程的先导星.若测得“嫦娥二号”在月球(可 视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已 知引力常量为G，半径为R的球体体积公式 则可 估算月球的( ) A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期,【解析】选A.由万有引力提供向心力有 在月球表面轨道有r=R，由球体体积公式 联立解 得月球的密度 故选A.,二、应用万有引力定律分析计算天体运动的问题,1.解决天体运动问题的两条思路 (1)所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都由万有引力 提供.因此，向心力的大小等于万有引力的大小是我们研究 天体运动建立方程的基本关系式，即 (2)物体在地球(天体)表面时受到的引力等于物体的重力， 即： 式中的R为地球(天体)的半径，g为地球(天 体)表面的重力加速度.,2.解决天体问题时应注意的问题 (1)在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时，只能测出中心天体的质量，而环绕天体的质量在方程式中被消掉了. (2)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件.如地球公转一周时间是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s2等.,(3)由 可以得到：GM=gR2.由于G和M(地球质量) 这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住.所以粗略计算 时，一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量G值和 地球的质量M值，方便多了.,绕同一中心天体做匀速圆周运动的星体，距离中心天体越远，星体运行速度越小，运行周期越长，运行角速度越小.,【典例2】海王星的发现是万有引力定律应用的一个非常成功的范例.但是,在发现海王星后，人们又发现海王星的轨道与理论计算值有较大的差异，于是沿用发现海王星的方法经过多年的努力，美国的洛维尔天文台才在理论计算出的轨道附近天区内找到了质量比理论值小得多的冥王星.冥王星绕太阳运行的半径是40个天文单位(地球和太阳之间的距离为一个天文单位).求冥王星与地球绕太阳运行的线速度之比.,【解题指导】解答本题可按以下思路进行解答：,【标准解答】设太阳的质量为M，行星运行的线速度为v， 行星的质量为m，行星到太阳的距离为R. 根据F引=F向得 有 对于这两个星体GM 是一样的.,【规律方法】应用万有引力定律解题的两个重要关系 (1)基本关系：F万=F向，即 (2)黄金代换： 即GM=gR2.,【互动探究】求冥王星绕太阳转动一圈大约多少年？ 【解析】由 得冥王星的公转周期 答案：253年,【变式备选】(双选)一颗质量为m的卫星绕质量为M的行星做匀速圆周运动，则卫星的周期( ) A.与卫星的质量无关 B.与卫星的运行角速度成正比 C.与行星质量M的平方根成正比 D.与卫星轨道半径的 次方有关,【解析】选A、D.对卫星由牛顿第二定律得 解得 由此可知T与卫星的质量无关，与行星质 量M的平方根成反比，与卫星轨道半径的 次方成正比，故 A、D正确，C错误；由 可知T与角速度成反比，B错误.,三、人造卫星的特点,1.卫星绕地球的轨道 (1)若是椭圆轨道,地心是椭圆的一个焦点,其运动遵循开普勒定律. (2)若是圆轨道,卫星所需的向心力由地球对它的万有引力提供,由于万有引力指向地心,所以卫星圆轨道的圆心必然是地心,即卫星绕地心做匀速圆周运动. (3)轨道平面:卫星的轨道平面可以跟赤道 平面重合,也可以跟赤道平面垂直,也可 以跟赤道平面成任意角度.轨道平面一定 过地心，如图.,2.人造卫星的线速度、角速度、周期、加速度与半径的关 系 (1)由 得 即v ，说明卫星的运动 轨道半径越大，其运行线速度就越小. (2)由 得 即 ，说明卫星的 运动轨道半径越大，角速度越小. (3)由 得 即T ，说明卫星 运动的轨道半径越大，其运行周期越长. (4)由 得 即a ,说明卫星运动的轨 道半径越大，其加速度越小.,3.地球同步卫星 (1)周期、角速度与地球自转周期、角速度相同,T=24 h. (2)轨道是确定的,地球同步卫星的运行轨道在赤道平面内. (3)在赤道上空距地面高度有确定的值. 由万有引力提供向心力得 解得,无论哪种地球卫星,都遵守由万有引力定律决定的天体力学规律.所有人造地球卫星尽管轨道面不同,但都以地球的中心作为运动轨道的圆心.,【典例3】(2011北京高考)由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( ) A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同 C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同,【解题指导】解答本题时可按以下思路分析：,【标准解答】选A. 万有引力提供卫星的向心力 解得周期 环绕速度 可见周期相同的情况下轨道半径必然相同，B错 误；轨道半径相同必然其环绕速度相同，D错误；同步卫星 相对于地面静止在赤道上空，所有的同步卫星的运行轨道 都在赤道上空同一个圆轨道上，C错误；同步卫星的质量可 以不同，A正确.,【规律方法】同步卫星及其特点 相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星. 同步卫星有如下特点： (1)同步卫星的运行方向与地球自转方向一致. (2)同步卫星的运行周期与地球自转周期相同,T=24 h. (3)同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度.,(4)要与地球同步,卫星的轨道平面必须与赤道平面平行,又 由于向心力是万有引力提供的,万有引力必须在轨道平面上, 所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上,即所有的同步卫 星都在赤道的正上方. (5)同步卫星高度固定不变 由 得 也就是说,同步卫星必须定位于赤道的正上方,离地面的高 度约为3.6104 km.,(6)同步卫星的环绕速度大小一定:设其运行速度为v,由于 所以 =3.1103 m/s.,【变式训练】关于绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，以下判断正确的是( ) A.同一轨道上，质量大的卫星线速度大 B.同一轨道上，质量大的卫星向心加速度大 C.离地面越近的卫星线速度越大 D.离地面越远的卫星线速度越大,【解析】选C. 绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星的向 心力由万有引力提供，由牛顿第二定律得： 解得： 故同一轨道上的卫星的线速度和 向心加速度与卫星的质量无关，A、B错误；由 可知，离地面越近的卫星r越小，线速度越大，故C正确， D错误.,四、发射速度、运行速度与宇宙速度的区别,1.发射速度：是指被发射物在离开发射装置时的初速度，要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度. (1)若发射速度大于7.9 km/s，而小于11.2 km/s,卫星将环绕地球做椭圆轨道运动. (2)若发射速度大于等于 11.2 km/s 而小于16.7 km/s，卫星将环绕太阳运动. (3)若发射速度大于等于16.7 km/s，卫星将飞出太阳系.,2.运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆 周运动的线速度，当卫星“贴着”地面运行时，运行速度 等于第一宇宙速度，根据 可知，人造卫星距地面 越高(即r越大)，运行速度越小. 3.宇宙速度:三个宇宙速度分别是指发射的卫星成为近地卫 星、脱离地球引力和脱离太阳引力所需要的最小地面发射 速度.,4.第一宇宙速度的推导 设地球质量为M,卫星质量为m,卫星到地心的距离为r,卫星 做匀速圆周运动的线速度为v,根据万有引力定律和牛顿第 二定律得: 应用近地条件rR(R为地球半径),取R=6 400 km, M=61024 kg,则:,第一宇宙速度的另一种推导: 在地面附近,万有引力近似等于重力,此力提供卫星做匀速 圆周运动的向心力.(地球半径R、地面重力加速度g已知) 由 得,第一宇宙速度公式 不仅 适用于地球，也适用于其他任何天体.,【典例4】已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响. (1)推导第一宇宙速度v1的表达式； (2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.,【解题指导】解答本题时应把握以下三点：,【标准解答】(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，地球 表面处物体质量为m 在地球表面附近满足 则GM=R2g 卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 则 将式代入式，得到,(2)结合式卫星受到的万有引力为 由牛顿第二定律得 式联立解得 答案：(1) (2),【规律方法】计算第一宇宙速度的方法 (1)应用公式 计算：用于已知天体的质量M及天体 的半径R的情况. (2)应用公式 计算：用于已知天体的半径R及天体 表面的重力加速度g的情况.,【互动探究】(1)已知地球的第一宇宙速度v1=7.9 km/s. g=9.8 m/s2,则地球半径为多少？ (2)某卫星离地面的高度h=R(R为地球半径)，则它的速度多大？,【解析】(1)例题已求得第一宇宙速度的表达式 求 此得 代入数据求得地球半径R=6.37106 m=6.37 103 km (2)由 得卫星的运行速度 = 7.9 km/s5.6 km/s. 答案：(1)6.37103 km (2)5.6 km/s,【典例】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在银河系中很普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动