人教版八年级数学上册,11.3角的平分线的性质,如图，浑南新区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。,情景引入,已知:AOB,求作：AOB的平分线,做法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。,（3）作射线OC。射线OC即 为所求。,A,0,B,M,N,C,（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在AOB的内部交于点C。,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,角平分线性质,已知：如图，OP是AOB的平分线，点P在OC上， PDOA，PEOB，垂足分别为D，E 求证：PD=PE,在角的平分线上的点到这个角的两 边的距离相等。,A,B,O,P,D,E,1,2,C,定理,证明: 1=2 , OP=OP PDO=PEO=90 PDOPEO (AAS) PD=PE (全等三角形的对应边相等),定理的逆命题该怎么说？,在一个角的内部，且 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E， PD=PE. 求证：点P在AOB的平分线上,逆定理：,证明: 在RtODP和RtOEP中, ODP=OEP=90 OP=OP, PD=PE RtOPDRtOPE (HL),数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务,O,C,P,300m,例1:,情景引入,例2: 已知：如图，E是BAC平分线上的一点，EBAB，ECAC，B，C分别是垂足。你能得到哪些结论？为什么？,解：E是BAC平分线上的一点，EBAB，ECAC BE=CE 在Rt ABE和RtACE BE=CE AE=AE Rt ABE RtACE AB=AC, BAE= CAE AE垂直平分BC,结论： AE垂直平分BC,例3: 已知：如图所示：PA，PC分别是ABC外角MAC与 NCA平分线，它们交于P，PDBM于M，PFBN于F 求证： 点P在MBN的平分线上,E,证明：过点P作PEAC于E PA，PC分别是ABC外角MAC与 NCA平分,PDBM于M，PFBN于F PD=PE PE=PF PD=PF 点P在MBN的平分线上,活动与探究: 已知：如图，1=2，P为BN上一点， 且PDBC于D，AB+BC=2BD 求证：BAP+BCP=180,证明：过点P作PEBM于E,PD BC于D 1=2 PE=PD AB+BC=2BD AE=CD 在APE和CPD中 AE=CD AEP=CDP PE=PD APE CPD EAP=DCP BAP+BCP=180,1、回忆这节课，学习了全等三角形的哪些知识？,小结提高,注：角的平分线的性质是证明线段相等的重要方法。,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,在一个角的内部，且 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。,逆定理：,作业P1101,2,3,4,5,6,谢谢！再见！,