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人教版八年级数学上册,11.3角的平分线的性质,如图,浑南新区一个工厂,在公路西侧,到公路的距离与到河岸的距离相等,并且与河上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确定工厂的位置吗?并说明理由。,情景引入,已知:AOB,求作:AOB的平分线,做法:(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N。,(3)作射线OC。射线OC即 为所求。,A,0,B,M,N,C,(2)分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径作弧,两弧在AOB的内部交于点C。,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,角平分线性质,已知:如图,OP是AOB的平分线,点P在OC上, PDOA,PEOB,垂足分别为D,E 求证:PD=PE,在角的平分线上的点到这个角的两 边的距离相等。,A,B,O,P,D,E,1,2,C,定理,证明: 1=2 , OP=OP PDO=PEO=90 PDOPEO (AAS) PD=PE (全等三角形的对应边相等),定理的逆命题该怎么说?,在一个角的内部,且 到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。,已知:如图,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E, PD=PE. 求证:点P在AOB的平分线上,逆定理:,证明: 在RtODP和RtOEP中, ODP=OEP=90 OP=OP, PD=PE RtOPDRtOPE (HL),数学问题源于生活实践,反过来数学又为生活实践服务,O,C,P,300m,例1:,情景引入,例2: 已知:如图,E是BAC平分线上的一点,EBAB,ECAC,B,C分别是垂足。你能得到哪些结论?为什么?,解:E是BAC平分线上的一点,EBAB,ECAC BE=CE 在Rt ABE和RtACE BE=CE AE=AE Rt ABE RtACE AB=AC, BAE= CAE AE垂直平分BC,结论: AE垂直平分BC,例3: 已知:如图所示:PA,PC分别是ABC外角MAC与 NCA平分线,它们交于P,PDBM于M,PFBN于F 求证: 点P在MBN的平分线上,E,证明:过点P作PEAC于E PA,PC分别是ABC外角MAC与 NCA平分,PDBM于M,PFBN于F PD=PE PE=PF PD=PF 点P在MBN的平分线上,活动与探究: 已知:如图,1=2,P为BN上一点, 且PDBC于D,AB+BC=2BD 求证:BAP+BCP=180,证明:过点P作PEBM于E,PD BC于D 1=2 PE=PD AB+BC=2BD AE=CD 在APE和CPD中 AE=CD AEP=CDP PE=PD APE CPD EAP=DCP BAP+BCP=180,1、回忆这节课,学习了全等三角形的哪些知识?,小结提高,注:角的平分线的性质是证明线段相等的重要方法。,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,在一个角的内部,且 到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。,逆定理:,作业P1101,2,3,4,5,6,谢谢!再见!,
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