2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合同时满足,就称有序集对为“好集对”。这里的有序集对意指当，是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个。.设函数,为( )3.设是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是( ) 4.在直角中, ,为斜边上的高,D为垂足. .设数列的通项为则( )5.在正整数构成的数列1.3.5.7删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列,易见那么6.设则7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有_种.8.设,且为使得取实数值的最小正整数,则对应此的为 9.若正整数恰好有4个正约数,则称为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_个.10.平行六面体中,顶点出发的三条棱的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为那么这个平行六面体的四条对角线的长度(按顺序)分别为_11.函数的迭代的函数定义为其中=2,3,4设,则方程组的解为_12.设平行四边形中，则平行四边形绕直线旋转所得的旋转体的体积为_三解答题13.已知椭圆和点直线两点(可以重合). 1)若为钝角或平角(为原点), 试确定的斜率的取值范围. 2)设关于长轴的对称点为,试判断三点是否共线,并说明理由. 3)问题2)中,若三点能否共线?请说明理由.14. 数列由下式确定: ,试求(注表示不大于的最大整数,即的整数部分.)15. 设给定的锐角的三边长满足其中为给定的正实数,试求的最大值,并求出当取此最大值时, 的取值.07年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、 选择题1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D.第1题解答过程逐个元素考虑归属的选择.元素1必须同时属于A和B.元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于A和B，有2种选择：属于A但不属于B，属于B但不属于A.同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A，也不能同时不属于B.所以4个元素满足条件的选择共有种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.第2题解答过程令，则，且，.从而. 令，则题设方程为 ，即，故 ， ，解得 . 从而 . 答：A.第3解答过程 注意 ,2,7和9两两互质. 因为 （mod2）, （mod9）,所以（mod18）. （1）又因为，（mod7）,所以（mod7）. (2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知（mod126）. 答：C. 另解：，所以 ，其中B，C为整数.从而，其中D，E为整数.所以A除以63的余数为6.因为A是偶数，所以A除以126的余数也为6. 答：C.第4解答过程易见，即，又已知，故，；，.显然是首项为，公比为的等比数列的前项和.故， .即 ， .故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见，即，又已知，故，.解得， .显然是首项为，公比为的等比数列的前项和，故， . 于是数列就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，它满足递推关系 . 所以答案为A.第5题解答过程可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，中不能被2，5或11整除的项的个数为，其中不表示不大于的最大整数，即的整数部分.估值：设，故 .又因=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知. 答：B. 又解：可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，0，1，2，3，55中不能被2，5，11整除的数为,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，110中与110互质的数的个数，等于.） 显然1，2，3，中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，中，不能被2，5，11整除的数有个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，.所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的. 答：B .第6题解答过程显然 ； .注意到， ,所以 ， .故. 答：D.另解：， =.因为和是实数，所以， ,.答：D.第7解答过程解：设ABC三边长为整数，成等差数列，为钝角，则必有，.易解得 ，；，即.因此，即.另外，.易检验都是钝角三角形. 答：4.第8题解答过程注意到，满足，故可令，0.从而，-，-，故，+. 取实数，当且仅当，当且仅当，Z.满足此条件且的最小正整数为，此时.答：-1. 第9题解答过程易见奇异数有两类：第一类是质数的立方（是质数）；第二类是两个不同质数的乘积（为不同的质数）.由定义可得是奇异数（第一类）；不是奇异数；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第一类）；是质数，不是奇异数；是奇异数（第一类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）.答：8.第10解答过程解：将向量，分别记为，. 则，且易见， ， ， .所以 =55，故. 类似地，可算得，=3.答：，3.第11题解答过程令，易见，；令，易见，.因此，题设方程组可化为 （1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得 所以. 代入（1）得 ， , , .所以原方程组的解为. 答：.第12题解答过程.以表示平面图形绕直线所得旋转体体积.记直线为，作，交于，分别交，于.过作，分别交于.由于是的中点，所以分别是的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为.由于，易见，.显然，.且，.从而由圆锥体积公式得 .又，.从而由圆锥体积公式得.从而.答：所求体积为：第13题解答过程解：I）可设：，与联立得. 这是的一元二次方程，由判别式解得.记，则 ，.由题设条件， ，即，得 ，即，即 .得， ， ，.故的斜率的取值范围为.因为F(1,0),所以，从而 .与共线， 即与F、B三点共线.III）假设，过的直线与交于A、B，且A关于长轴的对称点为，如果、F、B三点共线.我们另取点.设直线AP与交于，那么如II）的证明，、F、B三点必共线.故B与重合，从而直线AB和重合，就是AQ与AP重合.所以P与Q重合，与假设矛盾.这就是说，时，三点、F、B不能共线.第14题解答过程14.解：， ， ，.故 ，亦即 ，由得 . （*）由于，且显然，故是递减数列，且，故 ，由（*）式得 ，. 第15题解答过程证明：因为ABC是锐角三角形，其三边满足，以及 .因此，由平均不等式可知 ，从而 ，亦即 ，.ABxoQABxoQA1FllAA1B1C1D1BCDABCDQMPNOFE上式取等式当且仅当，亦即.因此所求的的最大值为，当取最大值时，.yy（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图）2008年安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题1.若函数的图象绕原点顺时针旋转后，与函数的图象重合，则（ ）（A）（B）（C）（D）2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ）（A）椭圆（B）双曲线的一部分（C）抛物线的一部分 （D）矩形3.下列4个数中与最接近的是（ ）（A）-2008 （B）-1（C）1（D）20084.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。（A）3（B）4（C）5（D）65.写成十进制循环小数的形式，其循环节的长度为( )(A)30 (B)40(C)50（D）606.设多项式，则中共有（ ）个是偶数。（A）127（B）1003（C）1005（D）1881二、填空题7.化简多项式 8.函数的值域为 9.若数列满足，且具有最小正周期2008，则 10.设非负数的和等于1，则的最大值为 11.设点A，B、C在椭圆上，当直线BC的方程为 时，的面积最大。12.平面点集，易知可被1 个三角形覆盖（即各点在某个三角形的边上），可被2个三角形覆盖，则覆盖需要 个三角形。三、解答题13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放2个小球，记为盒中小于颜色相同的盒子的个数，求的分布。14.设，其中表示不超过x的最大整数。证明：无论取何正整数时，不在数列的素数只有有限多个。15.设圆与圆相交于A，B两点，圆分别与圆，圆外切于C，D，直线EF分别与圆，圆相切于E，F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A，B，G三点共线。08年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1D2D3B4A5C6D二、填空题（本题满分54分，每小题9分）789，正整数且与2008互素。101112三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13。（2分）。（6分）。（6分）。（6分）14。（2分）当时