轴对称现象精讲精练【本章学习目标】本章主要内容是对轴对称图形进行研究.其中重点是理解轴对称图形及两个图形成轴对称的概念，熟悉常见的各种轴对称图形欣赏对称的美感，激发学习的兴趣；掌握轴对称的性质，并利用这个性质作出轴对称图形或画出与已知图形成轴对称的图形难点是对有关对称图形的理解和应用1理解轴对称图形及两个图形成轴对称的概念，识别轴对称现象，熟悉轴对称图形，找出轴对称图形的对称轴2掌握轴对称的性质，角的平分线，线段的重直平分线及等腰三角形的性质3利用轴对称设计图案，作出轴对称图形的另一半，作出一个图形关于一条直线的轴对称图形4欣赏美丽的图案，发现图形的轴对称性并找出对称轴在学习的过程中应该注意以下几点：1对称轴是一条直线，有些轴对称图形可能有几条，甚至无数条对称轴2有些图形好像是“对称的”但并不是轴对称3轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证明等问题中有着重要的作用，是中考的必考内容之一4全等的图形不一定是对称的，而对称的图形一定是全等的5轴对称与轴对称图形是既有联系又有区别的两个概念它们的主要区别是：(1)轴对称是两个图形之间的对称关系，轴对称图形是一个图形自身的对称特性(2)轴对称的对称点分别在两个图形上，轴对称图形的对称点都在同一个图形上(3)两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点)，轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部它们的主要联系是：(1)都是沿某条直线翻折后能够互相重合(2)如果把轴对称的两个图形看做一个整体，那么它们就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分就关于这条对称轴对称【基础知识精讲】1在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象共同特征等活动，进一步发展空间观念2通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴3欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值【重点难点解析】理解轴对称和轴对称图形的概念，弄清两者之间的区别和联系，能识别简单的轴对称图形A重点、难点提示理解轴对称和轴对称图形的概念，弄清两者的区别与联系，能识别轴对称图形（这是本部分的重点与难点）B考点指要轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证明等问题中有着重要的作用，是中考的必考内容之一全等的图形不一定是对称的，而对称的图形一定是全等的轴对称与轴对称图形是既有联系又有区别的两个概念它们的主要区别是：（1）轴对称是两个图形之间的对称关系，轴对称图形是一个图形自身的对称特性；（2）轴对称的对称点分别在两个图形上，轴对称图形的对称点都在同一个图形上；（3）两个图形形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点），轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部它们的主要联系是：（1）都试验某直线翻折后能够互相重合；（2）如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分就关于这条对称轴成轴对称【难题巧解点拨】例1 判断直线和射线是不是轴对称图形？解：直线是轴对称图形，对称轴有无数条，包括这条直线本身及它的任意垂线；（严格根据定义来判断）射线也是轴对称图形，它的对称轴就是射线所在的直线例2 如下图，ABC中，ABAC，D是BC的中点，点E在AD上，用轴对称的性质证明：BECE证明：ABC中，ABAC，BDCD（已知），ADBC（等腰三角形三线合一），AD垂直平分线段BC，（在具有轴对称的图形中，如能证明和利用轴对称的性质，有时解题会有意想不到的功效）点C和点B关于直线AD对称，又点E在对称轴AD上，BECE（轴对称的性质）注本题也可用三角形全等、等腰三角形的性质予以证明，请大家自行完成，并对比哪一种证法更为简洁例3 如下图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且ACBD，若A到河岸CD的中点的距离为500m（1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；（2）最短路程是多少？解：（1）已知：直线CD和CD同侧两点A、B求作：CD上一点M，使AMBM最小作法：作点A关于CD的对称点，连结B交CD于点M，则点M即为所求的点证明：在CD上任取一点，连结A、B、AM，直线CD是A、的对称轴，M、在CD上，AM，A，AMBMMBMB，在AMB中，B，BAMBM，（三角形两边之和大于第三边）即AMBM最小（2）由（1）可得：AM，CACBD，CMBDM，MBM，CMDM，即M为CD的中点，且B2AM，（三角形全等的理由是什么？）AM500m，BAMBM2AM1000m答：最短路程为1000m注本题考察几何的实际应用，其关键是理解实际应用问题的理论依据，建立相应的数学模型【典型热点考题】例1 找出下面的轴对称图形(图71)，并说出它们各有几条对称轴点悟：本题主要考查识别轴对称图形的能力根据轴对称图形的概念来认真识别但要注意图(9)(10)这两个图也有“对称”性，但它们没有对称轴不能把它们误认为是轴对称图形解：根据图形可知：(1)是轴对称图形，它有3条对称轴；(2)是轴对称图形，它有5条对称轴；(3)是轴对称图形它有4条对称轴.(4)是轴对称图形它有1条对称轴；(5)是轴对称图形，它有2条对称轴；(6)不是轴对称图形；(7)是轴对称图形，它有1条对称轴；(8)是轴对称图形，它有1条对称轴；(9)(10)虽然有“对称”性，但都不是轴对称图形例2 如图72，在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，B30，求1和ADC的度数点悟：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”等腰三角形的“三线合一”是等腰三角形的重要性质解：因等腰三角形的“三线合一”，所以AD既是ABC的顶角平分线又是底边上的高， ADC90 A1803030120，例3 观察图73中(1)(5)，它们是不是轴对称图形?有什么共同特点?点悟：本题主要考查两个图形成轴对称图形的理解可以利用轴对称的概念加以判断，但不能把两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形的概念相混淆解：它们都是轴对称图形，每一组中都有两个图形可以沿某一条直线对折使两个图形能完全重合在一起，所以每幅图中的两个图形成轴对称轴对称图形是一个图形可以有一条或许多条对称轴(1)(5)两个图形成轴对称，一般来说只有一条对称轴例4 请分别画出图74中3个图形的对称轴解：(1)有6条对称轴；(2)有5条对称轴；(3)有6条对称轴画图略例5 如图75，(1)正三角形，(2)正四边形，(3)正五边形，(4)正六边形，(5)正八边形，(6)正九边形都是轴对称图形，数一数它们的对称轴的条数观察后分析：正多边形对称轴的条数与边数有什么关系?根据你的分析结果回答，正十边形，正十六边形，正二十九边形分别有几条对称轴?正五十边形呢?正一百边形呢?点悟：正多边形并不都是轴对称图形但是，是轴对称图形的正多边形的对称轴的条数与其边数有着密切的联系，请仔细找出它们之间的规律解：正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形就有6条对称轴，正八边形有8条对称轴，正九边形有9条对称轴正多边形对称轴的条数与边数n之间的关系是：边数是n，对称轴的条数是n条所以正十边形有10条对称轴，正十六边形有16条对称轴，正二十九边形就有29条对称轴，正五十边形就有50条对称轴，正一百边形就有100条对称轴【易错例题分析】例 如图76，牧童在A放牛，其家在B处，A、B到河边的距离分别为AC、BD，且ACBD，若A到河岸CD的中点的距离为500m(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走的路程最短?在图中作出该处并说明理由；(2)最短路程是多少?正解：(1)已知：直线CD和CD同侧两点A、B求作：CD上一点M，使AMBM最小作法：作点A关于CD的对称点，连结交CD于点M，则点M即为所求的点证明：在CD上任取一点，连结， 直线CD是，的对称轴，在CD上， ， ，在ABC中， ， ，即 AMBM最小(2)由(1)可得：， ， 即 M为CD的中点，且， AM500m， 答：最短路程为1000m警示：误区，作ACCD，连结BC，C点即为所求，即ACCB为最短；误区，在CD上找一点M，使AMBM，则AMBM为最短；误区，作BDCD，连结AD，则ADBD为最短以上所有作法都是错误的本题主要考查的是几何问题的实际应用，关键是充分利用轴对称图形的性质，轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证明等问题中有着重要的作用，是中考的必考内容之一在解决几何知识的实际应用问题时，应该仔细分析题设条件，正确理解实际问题的理论依据，巧妙地建立相应的数学模型【同步达纲练习】一、选择题1欣赏图77的图案，指出它们中间不是轴对称图形的是 ()2图78的图形中，不是轴对称图形的是 ()3图79的图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是()4下列图形中，不是轴对称图形的是 ()A有两个角相等的三角形B有一个角为45的直角三角形C.有一个角为30，另一个内角为120的三角形D有一个内角为30的直角三角形5下列说法中，正确的是 ()A两个全等三角形组成一个轴对称图形B直角三角形一定是轴对称图形C轴对称图形是由两个图形组成的D等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形二、填空题1正方形有_条对称轴，对称轴是_.2等腰三角形有_条对称轴，对称轴是_.3长方形有_条对称轴，对称轴是_.4圆有_条对称轴，对称轴是_.5等边三角形有_条对称轴，对称轴是_.6画图，填空：画ABC，再画AB、AC的垂直平分线，它们相交于点O连结OA、OB、OC(1) 点O在线段AB的垂直平分线上， _(_)同理_， _，