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莱斯利模型,假定在总体中任意一个女性的最大年龄是N岁,这里的总体仅指女性人口总体,并将其当做按不同年龄分组的个体的集合。,将总体分成n个期限相等的年龄组,于是每组的期限为N/n年,按下表来记下各个年龄组:,假设已知在时刻t=0时每一个组中的女性人数,令在第i组中有 个女性,则记为,这个向量称为初始年龄分布向量。,现在来考虑这n个组中每组的女性人数随时间的推移而变化的情况。设任意两个连续的观察时间间隔和年龄区间的期限相等,即令,这样,在时刻 时于第(i+1)组中的所有女性在时刻是均在第i组中。,在两次连续的观察时间之间的出生和死亡过程,用下述人口学参数来描述:,表示每一个女性在第i年龄组期间生育儿女的平均数。,表示第i年龄组的女性可望活到第(i+1)年龄组的分数。,显然 不允许任何bi等于0,否则就没有一个没有女性会活到超过第i年龄组。,同样,至少有一个 是正的,这样就保证有n个女儿出生了。与正的 对应的年龄组称为生育年龄组。,记 是在时刻个 年龄组中的女性数目,则称,为在时刻 时年龄分布向量。在时刻 ,第一个年龄组中的女性数恰好就是在 和 之间出生的女孩数,即,(5.1),(5.2),将(5.1)式和(5.2)用矩阵表示即得,(5.3),简记为,(5.4),其中,称为莱斯利矩阵。由(5.4)式可得,(5.5),因此,如果已知初始年林分布 及莱斯利矩阵L,就能求出在以后任何时间的女性年龄分布。, 极限状态,(5.5)式给出了总日在任意时间的年龄分布,但是它并不能直接反映增长过程动态的情况。,为此我们需要考虑莱斯利矩阵L的特征值和特征向量,L的特征根是它的特征多项式的根,这个特征多项式为,为了求这个多项式的根,引入函数,(5.6),利用这个个函数,特征多项式 可写为,(5.7),由于所有的 和 为非负的,可以看作 对于大于零是单调减少的。,另外, 在 处有一条垂直渐近线,而当趋于无穷大时则趋于零。因此 ,存在唯一的一个 ,使得 。即矩阵L有一个唯一的正特征值, 是单根,对于 的一个特征向量是满足: 的非零向量。,解得,(5.8),由于 是单根,它相应的特征空间是一维的,因而任意它所对应的特征向量 是某个倍数,则有定理,定理1 一个莱斯利矩阵L有一个唯一的正特征值 ,并且有一个所有元素均为正的特征向量。,总体年龄分布的长期行为是由正的特征值 及它的特征向量 来决定的。实际应用中,由数学软件很容易求出矩阵的特征值与特征向量,请读者参阅第四章相关内容。,定理2 如果 为莱斯利矩阵L的唯一的正特征值, 是L的特征值,它可以是任意实数或复数,则 。,称为L的主特征值。如果对L的所有其他特征值有 ,那么 称为L的严格主特征值。并不是所有的莱斯利矩阵都满足这个条件,例如,请读者利用数学软件验证L的唯一正特征值不是严格主特征值,并且有 (单位矩阵)。,于是对于任意选择初始年龄分布 ,都有,因此年龄分布向量以三个时间单位为周期而摆动,如果 是严格主特征值,这种摆动(也称人口波)就可能不会发生。,下面价格叙述关于 是严格主特征值的必要和充分条件。,定理3 如果莱斯利矩阵的第一行有两个连续的元素 和 不等于零,则L的正特征值就是严格主特征值。,因此,如果女性总体有两个相继的生育年龄组,它的莱斯利矩阵就是一个严格主特征值。只要年龄组的期限足够小,现实中的总体总是这中情况。,假设L是可对角化的,此时L有n 个特征值 与它们相对应的n个线性无关的特征向量为 。将其中严格主特征值排在第一,建立一个矩阵P,其余个列就是L的特征向量。,于是L的对角化就由下式给出,则,因此,对于任意初始年龄分布向量 就有,此等式两边除以 ,就得出,(5.9),由于 是严格主特征值,所以 当 时,这样就得到,(5.10),如果将列向量 的第一个元素用常熟C来表示,则可以证明(5.10)式右端为 ,C是一个只与初始年龄分布向量 有关的正常数,于是得到,(5.11),对于足够大的k值,由(5.11)式给出近似式,(5.12),由(5.12)式还可得出,(5.13),比较(5.12)和(5.13)式可知对于足够大的k值,有,(5.14),这说明对于足够大的时间值,每个年龄分布向量是前一个年龄分布向量的一个数量倍数,这个数量就是矩阵的正特征值。因此,在每一个年龄组中的女性比例据变为常量。,由给出常时期人口的年龄分布向量(5.12)式,根据正特征值 的数值,会有三种情况:,)如果 ,总体最终是增长的;,)如果 ,总体整体是减少的;,)如果 ,总体整体是不变的。,的情形有特殊意义,因为它决定了一个具有零增长的总体。对于任何初始年龄分布,总体趋于一个是特征向量的某个倍数,由(5.6)和(5.7)式可看出,当且仅当,(5.15),时才有 。,表达式,(5.16),称为总体的净繁殖率。因此,总体的净繁殖率为1时,一个总体有零总体增长。,
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