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18.2.2菱形的判定 导学案【学习目标】1理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算;2在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力【学习重难点】菱形的两个判定方法【学习过程】一、 温故知新:1菱形的定义: 2.菱形的性质:边:_;_角:_;_对角线:_对称性: .二、学习新知:探究一: 如图,四边形是菱形吗?为什么?归纳:有一组邻边相等的平行四边形是菱形探究二:用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?通过探究,容易得到:对角线 的平行四边形是菱形证明上述结论:探究三:李芳同学先画两条等长的线段AB、AD,然后分别以B、D为圆心,AB为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC、CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画。通过探究,容易得到: 的四边形是菱形证明上述结论:例1. 如图,ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB= 5 ,AC=8,DB=6求证:四边形ABCD是菱形.三、练习1.判断题,对的画“”错的画“”(1).对角线互相垂直的四边形是菱形( )(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形( )(3).对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( )(4).对角线相等的四边形是菱形( )2.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD是菱形吗?求证:(1)四边形ABCD是平行四边形(2) 过A作AEBC于E点, 过A作AFCD于F.用等积法说明BC=CD.(3) 求证:四边形ABCD是菱形.3.已知:如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证:四边形AFCE是菱形4.如图,在四边形ABCD中,ABCD,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,AC的中点ABNPQMDC求证:MN与PQ互相垂直平分。5如图,四边形ABCD中,ABCD,AC平分BAD,CEAD交AB于E(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若点E是AB的中点,试判断ABC的形状,并说明理由6如图,ABCD中,ABAC,AB1,BC对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F(1)证明:当旋转角为90时,四边形ABEF是平行四边形;(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数四、中考链接一、选择题1. (2011西宁)用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是()A、一组临边相等的四边形是菱形B、四边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形故选B2. (2011莱芜)如图,E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点,且AB=CD下列结论:EGFH,四边形EFGH是矩形,HF平分EHG,EG=(BCAD),四边形EFGH是菱形其中正确的个数是()A、1B、2 C、3D、4故选C3.(2011湖南益阳)如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于CD,则直线CD即为所求根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是()A矩形B菱形C正方形D等腰梯形故选:B4. (2011襄阳)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是()A菱形B对角线互相垂直的四边形 C矩形D对角线相等的四边形故选D5.(2011清远)如图若要使平行四边形ABCD成为菱形则需要添加的条件是( )A.ABCD B.ADBC C.ABBC D. ACBD故选C二、填空题1. (2011贵港)如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,ABC=60,则四边形ABCD的面积等于18cm22. (2011福建省三明市,14,4分)如图,ABCD中,对角形AC,BD相交于点O,添加一个条件,能使ABCD成为菱形你添加的条件是 (不再添加辅助线和字母)故答案为:AB=BC或ACBD等三、解答题1. (2011江苏镇江常州)已知:如图,在梯形ABCD中,ABCD,BC=CD,ADBD,E为AB中点,求证:四边形BCDE是菱形解答:证明:ADBD,ABD是RtE是AB的中点,BE=AB,DE=AB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),BE=DE,EDB=EBD,CB=CD,CDB=CBD,ABCD,EBD=CDB,EDB=EBD=CDB=CBD,BD=BD,EBDCBD (SAS ),BE=BC,CB=CD=BE=DE,菱形BCDE(四边相等的四边形是菱形)2. (2011新疆乌鲁木齐)如图,在平行四边形ABCD中,DAB60,AB2AD,点 E、F分别是CD的中点,过点A作AGBD,交CB的延长线于点G(1)求证:四边形DEBF是菱形;(2)请判断四边形AGBD是什么特殊四边形?并加以证明解答:证明:(1)四边形ABCD是平行四边形ABCD且ABCD,ADBC且ADBCE,F分别为AB,CD的中点,BEAB,DFCD,四边形DEBF是平行四边形在ABD中,E是AB的中点,AEBEABAD,而DAB60AED是等边三角形,即DEAEAD,故DEBE平行四边形DEBF是菱形(2)四边形AGBD是矩形,理由如下:ADBC且AGDB 四边形AGBD是平行四边形由(1)的证明知ADDEAEBE,ADEDEA60,EDBDBE30 故ADB90平行四边形AGBD是矩形3.(2011云南保山)如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线AC上一点,PEAB,PFAD,垂足分别为E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗?为什么? 解答:解:是菱形理由如下:PEAB,PFAD,且PE=PF,AC是DAB的角平分线,DAC=CAE,四边形ABCD是平行四边形,DCAB,DCA=CAB,DAC=DCA,DA=DC,平行四边形ABCD是菱形4. (2011贵港)如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,AB=AD,BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE(1)求证:四边形ABED是菱形;(2)若ABC=60,CE=2BE,试判断CDE的形状,并说明理由解答:(1)证明:如图,AE平分BAD,1=2,AB=AD,AE=AE,BAEDAE,BE=DE,ADBC,2=3=1,AB=BE,AB=BE=DE=AD,四边形ABED是菱形(2)解:CDE是直角三角形如图,过点D作DFAE交BC于点F,则四边形AEFD是平行四边形,DF=AE,AD=EF=BE,CE=2BE,BE=EF=FC,DE=EF,又ABC=60,ABDE,DEF=60,DEF是等边三角形,DF=EF=FC,CDE是直角三角形5. (2011安顺)如图,在ABC中,ACB=90,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE(1)说明四边形ACEF是平行四边形;(2)当B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由解答:(1)证明:由题意知FDC=DCA=90,EFCA,AEF=EAC,AF=CE=AE,F=AEF=EAC=ECA又AE=EA,AECEAF,EF=CA,四边形ACEF是平行四边形(2)当B=30时,四边形ACEF是菱形理由是:B=30,ACB=90,AC=,DE垂直平分BC,BE=CE,又AE=CE,CE=,AC=CE,四边形ACEF是菱形6. (2011西宁)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DECA,AEBD(1)求证:四边形AODE是菱形;(2)若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”,其余条件不变,则四边形AODE是矩形解答:解:(1)证明:矩形ABCD,OA=OC,OD=OB,AC=BD,OA=OD,DECA,AEBD,四边形AODE是平行四边形,四边形AODE是菱形(2)DECA,AEBD,四边形AODE是平行四边形,菱形ABCD,ACBD,AOD=90,平行四边形AODE是矩形故答案为:矩形7. (2011临沂)如图,ABC中,AB=AC,AD、CD分別是ABC两个外角的平分线(1)求证:AC=AD;(2)若B=60,求证:四边形ABCD是菱形解答:证明:(1)AB=AC,B=BCA,AD平分FAC,FAD=B,ADBC,D=DCE,CD平分ACE,ACD=DCE,D=ACD,AC=AD;证明:(2)B=60,AB=AC, ABC为等边三角形,AB=BC,ACB=60,FAC=ACE=120,BAD=BCD=120,B=D=60,四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,平行四边形ABCD是菱形8. (2011丽江市中考)如图,在平行四边形AB
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