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第11章 统计决策 11.1 统计决策的基本概念 11.2 完全不确定型决策 11.3 一般风险型决策 11.4 贝叶斯决策 学习目标 1.统计决策的基本概念、基本工具和基本 步骤; 2.完全不确定决策的基本准则及其使用场 合; 3.风险型决策的基本准则及其应用; 4.贝叶斯决策的概念; 5.后验概率计算与后验分析; 6.完全信息价值与补充信息价值的概念及 其应用。 11.1 统计决策的基本概念 一、什么是统计决策 二、统计决策的基本步骤 三、收益矩阵表 什么是统计决策 狭义的统计决策方法是一种研究非对 抗型和非确定型决策问题的科学的定量 分析方法。 统计决策的基本步骤 (一)确定决策目标 决策目标是在一定条件制约下,决策者希望达到的结果 。反映决策目标的变量,称为目标变量。 (二)拟定备选方案 备选方案是决策者可以调控的因素,备选方案中所调控 的变量称为行动变量。所有备选方案的集合称为行动空间 。 (三)列出自然状态 自然状态是指实施行动方案时,可能面临的客观条件。 所有可能出现的状态的集合称为状态空间,而相应的各种 状态可能出现的概率的集合称为状态空间的概率分布。 (四)选择“最佳”或“满意”的方案 (五)实施方案 收益矩阵表 表11-1 收益矩阵表 状态12n 概率P1P2Pn 方 案 a1q11q12q1n a2q21q22q2n amqm1qm2qmn 收益矩阵的元素qij反映在状态j下,采 用行动方案ai得到的收益值。这里所说的 收益是广义收益指标。收益是行动方案 和自然状态的函数,可用下式表示: qij Q (ai , j ) i =1,2,m; j=1,2,n 11.2 完全不确定型决策 一、完全不确定型决策的准则 二、各种准则的特点和适用场合 完全不确定型决策的准则 (一)最大的最大收益值准则 在决策时,先选出各种状态下每个方 案的最大收益值,然后再从中选择最大 者,并以其相对应的方案作为所要选择 的方案。 (二)最大的最小收益值准则 在决策时,先选出各种状态下每个方 案的最小收益值,然后再从中选择最大 者,并以其相对应的方案作为所要选择 的方案。 (三)最小的最大后悔值准则 后悔值是由于决策失误而造成的最大可能的收益值与实 际收益值之差。方案ai在状态j下的后悔值,可按下式计算: rij max Q (ai ,j ) qij 式中,max Q (ai ,j )是在第j 种状态下,正确决 策有可能得到的最大收益,qij是收益矩阵的元素。显 而易见,rij0 。最小的最大后悔值准则主张:应在 求出后悔矩阵的基础上,先选出各种状态下每个方 案的最大后悔值,然后再从中选择最小者,并以其 相对应的方案作为所要选择的方案。 (四)折衷准则 该准则主张根据经验和判断确定一 个乐观系数(01),以和1分 别作为最大收益值和最小收益值的权数 ,计算各方案的期望收益值E(Q(ai) E(Q(ai) = qij +(1) qij 并以期望收益值最大的方案作为所 要选择的方案。 (五)等可能性准则 该准则假定各种状态可能出现的概 率相同,在此基础上求各方案收益的期望 值,并以期望收益值最大的方案作为所 要选择的方案。 各种准则的特点和适用场合 最大的最大收益值准则一般只有在客观情况确实 很乐观,或者即使决策失误,也完全可以承受损失 的场合才采用。 最大的最小收益值准适用于对未来的状态非常没 有把握,或者难以承受决策失误损失的场合。 最小的最大后悔值准则适用于不愿放过较大的获 利机会,同时又对可能出现的损失有一定承受力的 场合。 折衷准则和等可能性准则都是以各种方案的收益 的期望值作为选择方案的标准。折衷准则事实上是 假定未来可能发生的状态只有两种:即最理想状态 和最不理想状态。前者发生的概率是,后者发生的 概率是(1)。当1时,该准则等价于乐观准 则,而当0时,该准则等价于悲观准则。 11.3 一般风险型决策 一、然状态概率分布的估计 二、风险型决策的准则 三、利用决策树进行风险型决策 自然状态概率分布的估计 客观概率是一般意义上的概率,通常 是由自然状态的历史资料推算或按照随 机实验的结果计算出来的。 主观概率是决策者基于自身的学识和 经验作出的对某一事件发生可能性的主 观判断。 风险型决策的准则 (一)期望值准则 以各方案收益的期望值的大小为依 据,来选择合适的方案。 E(Q(ai) (i =1,2,-,m) 式中,E(Q(ai)是i方案的收益的期望 值,是i方案在出现j状态时的收益值;是j 状态出现的概率。 (二)变异系数准则 在期望值达到一定数额的前提下,以 变异系数较低的方案作为所要选择的方 案。 方差Var(ai)和变异系数V的计算公式如 下: Var(ai) =E(Q(ai) (i =1,2,m) Vi (i =1,2,m) (三)最大可能准则 在最可能状态下,可实现最大收益值的方案为最 佳方案。 最大可能准则是将风险条件下的决策问题,简化 为确定条件下的决策问题。只有当最可能状态的 发生概率明显大于其他状态时,应用该准则才能 取得较好的效果。 (四)满意准则 利用这一准则进行决策,首先要给出一个满意水 平。然后,将各种方案在不同状态下的收益值与 目标值相比较,并以收益值不低于目标值的累积 概率为最大的方案作为所要选择的方案。利用该 准则的决策结果,与满意水平的高低有很大关系 。 利用决策树进行风险型决策 决策树是是一种将决策问题模型化的树 形图。决策树由决策点、方案枝、机会 点、概率枝和结果点组成。利用决策树 对方案进行比较和选择,一般采用逆向 分析法,即从树形结构的末端的条件结 果开始,从后向前逐步分析。 决策树比较适用于求解复杂的多阶段 决策问题。 图11-2 例11-9的决策树图 什么是贝叶斯决策 贝叶斯决策,是利用补充信息根据贝叶 斯公式来估计后验概率,并在此基础上 对备选方案进行评价的一种决策方法。 先验分析与后验分析 先验分析是利用先验概率进行决策,而 后验分析是利用后验概率作为选择与判 断合适方案的依据。一般来说,只要补 充信息是准确的,则后验分析的结论更 为可靠。 完全信息价值与补充信息价 值 完全信息,是指在对某一问题进行决策 时,对于所有可能出现的状态都可以提 供完全确切的情报。完全信息的价值, 可以由掌握完全信息前后,所采取的不 同行动方案的收益值的差额来表示。用 收益值差额的期望值来综合反映完全信 息的价值。
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