二次函数与一元二次方程及不等式一，二次方程基础概念当/（刈=0+法+。中，/（x） = o时，即得到二次方程ax2 +bx+c = O其解的几何意义即为二次函数的图象与X轴的交点横坐标.1 .4艮的判另|J式 = 一 44c 0时，方程有两个不相等的实数根; =0时，方程有两个相等的实数根; V0时，方程无实数根，但有两个共朝的虚数根.2.根与系数的关系（韦达定理）b根的位置v=图象位置v=等价条件ax2 +bx+c = 0 (a0)二次方程根的分布三、一元二次不等式一元二次不等式加1+bx+c0 （或0）的解集，即函数/（刈=疗+以+ ,的自变量的取值范围，使其函数值/（冷0 （或0）的自变量的取值范围.八y八yyiA0A0=() 0)的图像a_q7 ：一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的才艮-bJK la2a无实数根一元二次不等式ax2+bx+c0(a 0)的解集x V3或x &(X V x?)2ax为全体实数一元二次不等ax2+bx+c 0)的解集X X x2(M V Z )无解无解1,例题：选择题=对任意实数Z都有/(2+f) = /(2-f),那么(A )A. 2)/(l)/(4)B. /(l)/(2)/(4)C. /(2)/(4)/(l) D. /(4)/(2)lB. -C. aR且awOD. 41已知函数尸log! (a26x+7),则J(D ) 2A.有最大值没有最小值B.有最小值没有最大值C.有最大值也有最小值D.没有最大值也没有最小值填空题 方程x2-2|x|=4(4R)有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 解：令 =，- 21 x |, y2 = a则M I“。)，其函数图象如下: x + 2x(x 0)关于x的方程/-2办+9 = 0的两个实数根分别为a, p ,则(a-1尸+ (2-厅的最小值是解：方程有实数根，故A = 4标一4x9 2 0a W-3 或。23 又a + Q = 2a, ap = 9：.y =(2_l)2 + (/_lf =(a + P/_2(a + ,)_2a夕+ 2 = 4/_4_16或 23 /. y，8 (z=3 时取等号)min = 8应用题：y1.已知函数y = /-4x+24 + 30的图象与x轴无交点，求关于x的方程一一=|。-1|+1的才艮 a + 3的范围.解：= y = /一4aY + 2o + 30 的图象与 x轴无交点，所以4 = (一44)2 4(2。+ 30)0),方程/(x)-x=0的两个,艮不占满足0% 七 .(1) .当 (0,演)时，证明 xV/(x)VX；(2) .设函数/(x)的图象关于直线x = x。对称，证明：x0.解(2).依题意知七=一2.2a、2，因为玉，巧是方程，(x) x=0的根，即不，巧是方程ax +(61)x+c=0 的根，所以益+七=一个_ _ b a(xi + x,)-l 叫 + ox, 14一五=L= 2因为ox, 1,所以X。? = ?.za 25 .若关于x的二次方程7幺一(0+13) x+/一P一2=0的两根a,尸满足 0a 1/?0p2-p-20根据题意得：b(1)0即 b2-2p-8 0p2-3pQ解得：pW (2, - 1) U (3, 4).6 .已知二次函数y=x? (2m+4)x+m2 -4 (x为自变量)的图像与y轴的交点在原点下 方，与x轴交于A, B两点，点A在点B的左边，且A, B两点到原点的距离AO, OB 满足3 ( OB-AO) =2AO OB,直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P, 且锐角/PQB的正切值4.(1)求m的取值范围；(2)求这个二次函数的解析式；(3)确定直线丫=1+1的解析式.解 (1) m2-40,-2m2.(2)二次函数的解析式为y=x22x 3.(3) *y=x2-2x-3,得 A ( 1, 0), B (3, 0).强化训练一、填空题1 .与抛物线y=2x22x 4关于x轴对称的图像表示的函数关系式是y=-2x2+2x+4_.2 .已知二次函数尸(a-1) x?+2ax+3a 2的图像最低点在x轴上，那么a=_2_,此 时函数的解析式为_y=x2+4x+4 .3 .某涵洞的截面是抛物线型，如图1所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=(x2,当涵洞水面宽AB为12m时，水面到桥拱顶点O的距离为9_m.4 .甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P,羽毛球飞行 的水平距离s (m)与其距地面高度h (m)之间的关系式为h=-s2+|s+|.如图2, 已知球网AB距原点5m,乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为m,设乙的起跳4点C的横坐标为m,若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失 败，则m的取值范围是5vm0；当 xl 时; y 随着x的增大而增大.正确的说法有.（请写出所有正确说法的序号）9图3图4图5二、选择题9 .小敏在某次投篮球中，球的运动路线是抛物线y= 1x2+3.5的一部分（图4）,若命 中篮圈中心，则他与篮底的距离是（B ）A. 3.5mC. 4.5mD. 4.6m10.当m在可以取值范围内取不同的值时,代数327-4m+2M的最小值是（B ）A. 0B. 5D. 911 .二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5所示，则下列结论:a0,c0,b? 4ac0,其中正确的个数是（C ）A. 0个 B. 1个C. 2个 D. 3个12 .抛物线y=x?+ （2m1） x+n?与x轴有两个交点，则m的取值范围是（C ）A. m B. m C. m D. m444413 .根据下列表格中二次函数尸衾+bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0 （aO, a, b, c为常数）的一个解x的范围是（C ）X6.176.186.196.20y=ax2+b0.00.0x+c0.030.0124A. 6x6.17B. 6.17x6.18 C. 6.18x6.19 D. 6.19x6.2014 .若二次函数y=ax?+bx+c (aO)的图像的顶点在第一象限且经过点(0, 1)和(-1, 0),则S=a+b+c的值的变化范围是(A )A. 0S2 B. 0Sl C. 1S2 D. -1S115 .二次函数v=ax?+bx+c （aO）的最大值是零，那么代数式| a | +处土的化简结 4。果是（B ）A. aB. aC.D. 016 . （2006,甘肃兰州）已知y=2x?的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴，y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（B ）A. y=2 （x 2） 2+2B. y=2 （x+2） 2-2C. y=2 （x 2） 22D. y=2 （x+2） 2+2三、解答题17 . （2006,吉林省）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状，大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度AB=20m,顶点M距水面6m （即MO=6m）, 小孔顶点N距水面4.5m （即NC=4.5m）.当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.正常水位设抛物线解析式为y=ax2+6,依题意得，B (10, 0). axl02+6=0,解得 a=-0 06.即尸一0.06x2+6,当 y=4.5 时，-0.06x2+6=4.5,解得 x=5,二DF=5, EF=10,即水面宽度为10m.18 . （2008,安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅 子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=-gx?+3x+l的一部分，如图所示.（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4m,在一次表演中，人梯到 起跳点A的水平距离是4m,问这次表演是否成功？ 请说明理由./ 、3 ,3 /5 、 ， 19（1） y= x2+3x+l= （x ） 2+.5524319 -0, 函数的最大值是上.5419答：演员弹跳离地面的最大高度是上m.43（2）当x=4时，y=- - x42+3x4+1=3.4=BC,所以这次表演成功.19.（2006,沈阳市）某企业信息部进行市场调研发现:信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y-A （万元）与投资金额X （万元）之间存在正比例函数关系：yA=kx,并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x （万元）之间存