摘要 小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，素有“数学显微镜”的美称。 它是继1822年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的领域，解决了很多傅立 叶变换不能解决的困难问题。小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特 性同时得到处理，具有良好的局部化性质,能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂 信号时存在的局限性，具有极强的自适应性,因此在图像处理中具有极好应用价值。 本设计主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩技术，并运用Mal 软件对图像进行分解，然后提取其中与原图像近似的低频信息,达到对图像进行压缩 的目的。分别作第一层分解和第二层分解,并比较图像压缩的效果。 关键词:小波变换;Mtla;图像分解;图像压缩 目 录 摘要.I 第 1 章 绪论 1.设计背景1 2 设计要求1 13 设计思路简介1 第 2 章 小波变换处理图像设计过程2 小波变换的分解和重构算法2 2.2 小波变换在图像压缩中的应用 .4 第 3 章软件设计与仿真 3. ATLAB 程序.6 3.2结果及分析7 第 4 章 总结与展望9 参考文献.10 第章 绪论 1 设计背景 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近 10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与 uir变换相比,小波变换是空间 (时间）和频率的局部变换 ,因而 能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进 行多尺度的细化分析 ,解决了 r变换不能解决的许多困难问 题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图 像处理、地震勘探等多个学科。小波分析是一个新的数学分支,它是泛函分 析、Furier分析、样调分析、数值分析的完美结晶 ;小波分析是时间 尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、 计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得 了有科学意义和应用价值的成果。 12 设计要求 利用小波变换的基本原理在MATAB环境下编写程序对静态图像进行 分解并压缩，并观察分析其处理效果。 13 设计思路简介 一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像,不同分辨率的 子图像对应的频率是不相同的。高分辨率(即高频）子图像上大部分点都接近于 0,越是高频这种现象越明显。对一个图像来说,表现一个图像最主要的部分是 低频部分，所以利用小波分解就可以达到去掉图像的高频部分而只保留低频部 分的目的。 LAB是矩阵实验室(Mai Labortoy)的简称,它 在数学类科技应用软件中在 数值计算方面首屈一指。LAB可以进 行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其它编程语 言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处 理、信号检测 、金融建模设计与分析等领域。 本设计利用MTAB工具箱中的ave Tolox小 波工具箱对图像进行小波变换。 第章小波变换处理图像设计过程 .1 小波变换的分解和重构算法 .1 小波变换的分解算法 小波是函数空间（R)中满足下述条件的一个函数或者信号 （x) L 2 这里，=表 R * 示非零实数全体。 对于任意的函数或者信号，其小波变换定义为)(xf dx a bx xf a dxxxfba RRba fW )()( | 1 )()(),( ),( 因此,对任意的函数,它的小波变换时一个二元函数。)(xf 另所谓多分辨分析是指设;是()上的一列闭子空间,其中的一 Vj Zj L 2 函数，如果它们满足如下五个条件,即 （1)单调性:，; VV jj1 Zj (）唯一性：；0 VI j Zj (3)稠密性:()； VY j Zj L 2 （4）伸缩性：，; VV jj xfxf 1 )2()( Zj （5）Risz 基存在性：存在，使得;构成的 V t 0 )()(2nx i Zn Vj Rez 基。称为尺度函数。那么称;，是(R)上的)(t Vj Zj)(t L 2 一个多分辨分析。 若定义函数,，则由多分辨分析的定义，容)()( 222 , nxx i j nj Znj , 易得到一个重要结果,即函数族 ；)()( 222 , nxx i j nj Zn 是空间的标准正交基。关于多分辨分析,在这里以一个三层的分解进行说明， Vj 其小波分解树如图.1 所示(A 表示低频,D 表示高频)。 * 2 | | )(| R d x C S A1 A2 A3 D2 D3 D1 图 2. 小波分解法 从图中可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解,而高频 部分则不予考虑。分解具有关系, DDDA S 1233 另外强调一点,这里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步分解， 则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解，依次类推。在理 解多分辨分析时,必须牢牢把握一点，即分解的最终目的是力求构造一个在频率 上高度逼近空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各 异的带通滤波器。从图2.可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步的 分解,使频率的分辨率变得越来越高。 2.2 小波变换的重构算法 设、（i1,3)是由两个一元两尺度序列得到的二元尺度序列, p jl, q i jl, 即 =，,=,。则有重构算法为 p jl, pp jl 21 p jl 1 , qp jl 21 q jl 2 , pq jl 21 p jl 3 , qq jl 21 c mnk,; 1 d q c p i jlk j i jmln jlk jmln jl ,; 3 1 2,2 ,; 2,2 , 小波重构的数据传递示意图如图2.2所示 2 2 2 22 2 ),(mnc )( 1 n q )( 2 m q )( 1 n p )( 2 m p )( 1 n q )( 1 n p LL LH HL HH 图 2. 小波重构数据流示意图 2.2 小波变换在图像压缩中的应用 二维离散小波变换后的系数分布 构成了信号的二维正交小波分解系数(如图23所示）,),(yxf S3W 3 3 W 1 3W 2 3 W 3 2 W 1 2W 2 2 W 3 1 W 1 1W 2 1 图. 二维正交小波分解系数 它们每一个都可被看做一幅图像,给出了垂直方向的高),( 1 mnf Wj ),(yxf 频分量的小波分解系数，给出了水平方向的高频分量的小波),( 3 mnf Wj ),(yxf 分解系数,给出了对角方向高频分量的小波分解系数,),( 2 mnf Wj ),(yxf 给出了的低频分量的小波分解系数。由此可见，若用，f SJ ),(yxf SJWj 1 ，分别表示，经 Wj 2 Wj 3 ),(mnf Sj ),( 1 mnf Wj ),( 2 mnf Wj ),( 3 mnf Wj 21 亚抽样后的变换系数(简称为子图像),则任一图像都可以分解为 j=-J,- 1 之间的+1 个离散子图像:,，其中是原图像的一个近 SJWj 1 Wj 2 Wj 3 SJ ZZ jjjj jj mnf W mnf W mnf W mnf S mn ),(),(),(),( 321 1,., ),( G H2 f SJ 1 2 G H H G 2 2 2 2 W 1 1 W 2 1 W 3 1 SJ 似，(i=，,3；j-J，,-1)则是图像在不同方向、不同分辨率下的 W i j 细节;如果原图像有个像素，则子图像,，分别有个 SJWj 1 Wj 2 Wj 3 N i 2 像素,因而分解后总的像素数为 NT NNNN j j iJ T 22 1 2 3 44 可见,分解后总的像素数不变。 二维数字信号也即数字图像,对它的处理时基于图像的数字化来实现的。图 像的书画结果就是一个巨大数字矩阵,图像处理就在这个矩阵上完成。所以,可 将二维数字信号看做,即 dmn ),( 0 mnf S = dmn ),( 0 mnf S R dxdymynxyxfmnyx yxf 2 ),(),(),)(,( 0 * ),( 并采用与一维情况类似的mala算法。由于两次一维小波变换来实现 一次二维小波变换,所以先对该矩阵的行进行小波变换，再对列进行小波变换。 从信号滤波的角度实现二维小波变换的框图分别如图3.4所示。 图.4 二维小波变化的框图 第章 软件设计与仿真 1 MATLB 程序 下面的实例是基于二维小波分析对图像进行压缩。一个图像作小波分解后, 可得到一系列不同分辨率的子图像,不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。 高分辨率(即高频)子图像上大部分点都接近于0，越是高频这种现象越明显。 对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以一个最简单的 压缩方法是利用小波分解,去掉图像的高频部分而只保留低频部分。 clc; clear al; a=mread(.bp）; X=gb2gray（a); ubpo(221）;ig（X);coormap(gra(56); l(原始图像）; issquare; ,s=waedec(X,2,ior3.7); a1=appcoef2(,s,br37，1); c1=dtce2(h,c，s,1）; cv1=ecef(v,1); cd1=detcoef2(d，,s,)； a1=wrcoef2(a,c,，ior37,); h1wrcef2(h，c,s，ior37，1); v1wrcoef2(,c，s，bior.7,1); dwrcof（d,s,bior37,1); c1=a1,1;1，d1; subpo(222);imge（c1); axi qure itle（分解后低频和高频信息）; 1=pcof2(c,s，bio37,1)； ca1=wdemat(ca，4,mt,); a1=5*a; suplo(223)；image（ca)；coormap(gray(26）)； ttle(第一次压缩图像)； s square ca2=apcoe2(c，s,br37,2）; a2=codeat（ca2,4,mt,0); c2=0.25*ca2; blot(24);imge（ca2);colormp(gray(56); aissqa; tite(第二次压缩图像); 3. 结果及分析 运行程序，得到的结果如图.1 所示 图 3. 运行结果 从图中可以看出,第一次压缩我们是提取原始图像中小波分解第一层的低频 信息，此时压缩效果较好，压缩比较小(约为/3)；第二次压缩是提取第一层 分解低频部分的低频部分(即小波分解第二层的低频部分)，其压缩比比较大 （1/12),压缩效果在视觉上也基本过得去，它不需要经过其它处理即可获得较 好的压缩效果。 第 4 章总结与展望 这次设计利用小波变换完成了对静态图像进行压缩的目的，基本上实现了 设计的要求,在这里对江老师的指导和帮助表示感谢。 图像压缩是一个很有发展前途的研究领域,它的研究就是寻找高压缩比的方 法且压缩后的图像要有合适的信噪比,在压缩传输后还要恢复原信号，且在压缩、 传输、恢复的过程中,还要求图像的失真度小。而将小波分析引入图像压缩的研 究范畴,当一个图像作小波分解后,可得到一系列不同分辨率的子图像,不同分辨 率的子图像对应的频率是不相同的.高分辨率子图像上大部分点的数值都接近 0，越高就越明显。而对于一个图像来说,表现一个图像的最主要部分是低频部 分。而且小波分析能使压缩比高、压缩速度快,压缩后能保持信号与图像的特征 基本不变。在数字图像处理中具有很强的使用价值。 参考文献 程正兴.小波分析算法与应用M.西安:西安交通大学出版社，99 2 冉启文小波变换与分数傅立叶变换理论及应用.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 200 4 秦前清.实用小波分析M.西安:西安电子科技出版社,1998 5郑治真小波变换及其 Mtab 工具箱的应用M北京:地震出版社,200 胡学龙，许开宇数字图像处理M.北京:电子工业出版社,206.