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2005年浙江省宁波市某校保送生招生考试数学试卷一、选择题(每题6分,共30分))1. 若0ab0的整数,方程x2-bx+c=0有两个不等的实根x1和x2,设P=x1+x2,Q=x12+x22,R=(x1+1)(x2+1),试比较P、Q、R的大小,并说明理由13. 在平面直角坐标系中,已知双曲线y=12x,动点C、D同时从原点出发,分别沿x轴、y轴正方向运动,运动速度为每秒1个单位长 (1)经过几秒钟,直线CD与双曲线有一个公共点?(2)设直线CD与双曲线相交时,交点为A、B当AOB面积等于72时,求动点C、D两点所经过的时间t14. 三角形ABC中,BC=6,AB=2AC,P为BC延长线上一点,且CP=2, (1)当AB=8时,求三角形ABC的面积;(2)当AB变化时,求证:AP的值为定值,并求出这个定值15. A地产汽油,B地需要汽油,汽车自A地运汽油往B地,往返所需的汽油正好等于满载汽油的吨数,故无法直接自A地运往B地因此,需在中途设一油库为中间站C,自A往返于A、C间的汽车将油从A地运送至C地,然后再由往返于C、B间的汽车将油从C地运至B地设A、B两地的路程为s,B地收到的汽油吨数与A地运出汽油的吨数之比为运油率k (1)当AC=13s时,求运油率k的值(2)当AC为何值时,运油率最大?并求出此时的运油率k参考答案与试题解析2005年浙江省宁波市某校保送生招生考试数学试卷一、选择题(每题6分,共30分)1. A2. B3. A4. C5. D二、填空题(每题6分,共36分)6. 237. 4或-1或08. (-45,45)9. 910. 2711. 6三、解答题(每小题16分,共64分)12. 解: 方程x2-bx+c=0有两个不等的实根x1和x2, x1+x2=-b1=b,x1x2=c,b2-4c0, P=x1+x2, P=x1+x2=b, Q=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=b2-2c, R=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=b+c+1 b、c是满足cb0的整数, b2-4c0, Q=b2-2c2c, R=b+c+12c, QRP13. 解:(1) 动点C、D同时从原点出发,分别沿x轴、y轴正方向运动,运动速度为每秒1个单位长 假设经过t秒时,直线CD与双曲线有一个公共点, C点的坐标为:(t,0),D点的坐标为:(0,t), 假设CD所在直线解析式为:y=kx+b,将C,D代入解析式即可; b=tkt+t=0,解得:b=tk=-1, y=-x+t,将两解析式联立,-x+t=12x,整理得:x2-tx+12=0, 直线CD与双曲线有一个公共点, 方程有两个相等的实数根, b2-4ac=t2-48=0,解得:t=43或-43(不合题意舍去) 经过43秒钟,直线CD与双曲线有一个公共点;(2)如图:设A(x1,y1),B(x2,y2),显然x1x2,x1+x2=t,x1x2=12,SABO=SODB-SODA=12t(x2-x1)=12t(x1+x2)2-4x1x2=12tt2-48, SABO=72, 72=12tt2-48,整理得:(t2)2-48t2-49=0,解得:t2=49或-1(不合题意舍去), t0, t=714. 解:(1)过C作CDAB,交AD于D,设BD=x,则AD=8-x,又BC=6,AB=8,AC=12AB=4,在RtBDC中,根据勾股定理得:x2+CD2=62,在RtACD中,根据勾股定理得:(8-x)2+CD2=42,联立,消去CD2得:x2-36=(8-x)2-16,即16x=84,解得:x=214,把x=214代入得:CD=36-44116=3154,则SABC=12ABCD=1283154=315;(2)过A作AECP,交CP于E,如图所示:设CE=x,AE=y,AC=a,AB=2a,在RtACE中,根据勾股定理得:x2+y2=a2,在RtABE中,根据勾股定理得:(6+x)2+y2=(2a)2,-得:-4x=12-a2,在RtAEP中,根据勾股定理得:AP2=AE2+EP2=y2+(2-x)2=x2+y2-4x+4,将和代入得:AP2=a2+12-a2+4=16,开方得:AP=4,则AP的值为定值,且定值为415. 解:(1)设满车载油a吨,则汽车从A地灌油到C地,可输入油库23a吨,故A地到C地的运油率为23,同理:C地到B地的运油率为13, k=2313=29;(2)设AC=x,则A地到C地的运油率为1-xs,C地到B地的运油率为1-(1-xs)=xs, A地到B地的运油率k=(1-xs)xs=-1s2x2+1sx, 当x=s2时,运油率k最大为14试卷第5页,总5页
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