常微分方程常微分方程 第一章初等积方法 第五章定性与稳定性概念 第三章线性微分方程 第二章基本定理 第四章线性微分方程组 第六章一阶偏微方程初步 第1讲微分方程与解 微分方程 什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题. 300多年前，由牛顿(Newton,16421727)和莱布尼兹 (Leibniz,16461716)所创立的微积分学，是人类科学史上划 时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方 程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难 全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全 过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间， 通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易 捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结 果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规 律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自 然规律的一种最为自然的数学语言. 例1物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距 地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系. 解如图11建立坐标系，设为t时刻物体 的位置坐标.于是物体下落的速度为 加速度为 质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外 力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气 阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律 F=ma(力= 质量加速度) 可以列出方程 (1.1) 其中k0为阻尼系数，g是重力加速度. (1.1)式就是一个微分方程，这里t是自 变量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是， 如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此 时方程(1.1)可化为 （1.2） 将上式对t积分两次得 (1.3) 一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数 以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中 的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分 方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的 函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分 方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称 微分方程或方程. 例如下面的方程都是常微分方程 (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) 在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称 为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为 (1.8) 如果在(1.8)中能将y解出，则得到方程 (1.9) (1.10) 或 (1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程. n阶隐式方程的一般形式为 （1.11） n阶显式方程的一般形式为 (1.12) 在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数 y,y,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为 非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性 微分方程具有如下形式： 显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程. 通解与特解 （1.13） 微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下. 定义1.设函数在区间I上连续，且有直 到n阶的导数.如果把代入方程(1.11)，得到在 区间I上关于x的恒等式， 则称为方程(1.11)在区间I上的一个解. 这样，从定义1.1可以直接验证： 1.函数y=x2+C是方程(1.4)在区间(，+) 上的解，其中C是任意的常数. 2.函数是方程(1.5)在区间（1,+1）上的解，其 中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y =，这两个解不包含在上述解中. 2.函数是方程(1.5)在区间（1,+1） 上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显 的常数解y=，这两个解不包含在上述解中. 3.函数是方程(1.6)在区间( ，+)上的解，其中和是独立的任意常数. 4.函数是方程(.)在区间( ，+)上的解，其中和是独立的任意常数. 这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上 ，在(，+)上有 事实上，在(，+)上有 所以在（，）上有 从而该函数是方程(1.6)的解. 从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中 可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等， 也可以不含任意常数.我们把n阶常微分方程(1.11)的含有n个独立的任意 常数C1，C2，Cn的解，称为该方程的通解，如果方程(1.11)的解 不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐 式表出的特解称为特积分. 由上面的定义，不难看出，函数 和分别是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解 ，函数是方程(1.7)的通积分，而函数y= 是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常 数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件 ，或简称初值条件. 初值问题 例1中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解，由于C_1 和C_2是两个任意常数，这表明方程(1.2)有无数个解，解的 图像见下面的图a和图b所示. 而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹. 产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个 自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初 始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何 一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的 高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹. 为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个 初始值条件，即 初始位置x(0)=H初始速度 代入到通解中，推得 于是，得到满足上述初值条件的特解为 (1.14) 它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律. 求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题值问题 . 于是我们称(1.14)是初值问题 的解. 对于一个n阶方程，初值条件的一般提法是 其中x_0 是自变量的某个取定值，而 是相应的未知函数及导数的给定值.方程(1.12)的初值问题 常记为 (1.16 (1.15) (1.16) 初值问题也常称为柯西（Cauchy）问题. 对于一阶方程，若已求出通解，只要把初值 条件 代入通解中，得到方程 从中解出C，设为C_0，代入通解，即得满足初值条 件的解. 对于n阶方程，若已求出通解后， 代入初值条件(1.15)，得到n个方程式 (1.17) 如果能从(1.17)式中确定出，代 回通解，即得所求初值问题的. 例2求方程 的满足初值条件的解. 解方程通解为 求导数后得 将初值条件代入 ，得到方程组 解出C_1和C_2得 故所求特解为 积分曲线 为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.9)的一个 特解的图象是xoy平面上的一条曲线，称为方程(1.9)的积分曲线，而通解的图象 是平面上的一族曲线，称为积分曲线族.例如，方程(1.4)的通解+C是xoy平面上 的一族抛物曲线.而是过点(0，0)的一条积分曲线.以后，为了叙述简便，我们对 解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程，也有积 分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将 在第4章详细讨论. 最后，我们要指出，本书中按习惯用 代替 而 分别代表 本节要点： 1常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程. 2常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分. 3初值问题及初值问题解的求法. 4解的几何意义，积分曲线. 第2讲变量可分离方程 1什么是变量可分离方程？ （1.18） 或 （1.19） 1什么是变量可分离方程？ 1.2.1显式变量可分离方程的解法. 1.在方程(1.18)中，假设g(y)是常数，不妨设g(y)=1.此 时方程(1.18)变为 (1.20) 设f(x)在区间(a,b)上连续，那么，求方程(1.20)的解就成为求 f(x)的原函数(不定积分)的问题.于是由积分上限所确定的函 数 (1.21) 就是方程(1.21)的通解，其中C是一个任意常数，是一 个固定数，是自变量. 2.假设g(y)不是常数，仍设f(x)在区间(a,b)上连续，而g(y)在 区间上连续. 若y=y(x)是方程(1.18)的任意一个解，且满 足y(x_0)=y_0，则由解的定义，有恒等式 (1.22) 假设g(y)0，于是可用分离变量法把方程写成 (1.23) 将上式两端积分，得到恒等式 (1.24) 上面的恒等式表明，当g(y)0时，方程(1.18)的任意一个解 必定满足下面的隐函数方程 (1.25) 反之，若 是隐函数方程(1.25)的解，则有恒等式(1.24)成立，由(1.24)的两边对 x求导数，就推出(1.23)成立，从而(1.22)成立， 这就表明了隐函数方程(1.25)的解 也是微分方程(1.18)的解. 在具体求解方程时，往往把(1.24)写成不定积分形式 （1.26） 由上面的证明可知，当g(y)0时，微分方程(1.18)与隐函数方程(1.26)是 同解方程，即若由(1.26)解出，则它是(1.18)的通解，由于(1.26)是通解的 隐式表达式，所以(1.26)亦称为方程(1.18)的通积分.在求解过程中， 对于通积分(1.26)应该尽量把它演算到底，即用初等函数表达出来， 但是，并不勉强从其中求出解的显式表达式.如果积分不能用初等函数表达 出来，此时我们也认为微分方程(1.18)已经解出来了， 因为从微分方程求解的意义上讲，留下的是一个积分问题，而不 是一个方程问题了. 3.若存在 ，使 ，则易见 是方程(1.18)的一个解，这样 的解称为常数解. Y(x)=y_0 1.2.2微分形式变量可分离方程的解法 方程 是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，x 和y在方程中的地位是“平等”的，即x与y都可以被 认为是自变量或函数. 在求常数解时，若，则y=y_0为方 程(1.19)的解.同样，若，则x=x_2也是方 程(1.19)的解. 当时，用它除方程(1.19)两端，分 离变量，得 上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分 本节要点： 1变量可分离方程的特征 2分离变量法的原理：微分方程（1.18 ）与分离变量后的积分方程（1.26）当 时是同解方程 3变量可分离方程一定存在常数解 y=y_0,并且满足 第3讲齐次微分方程 1什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们 形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后， 就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离 的方程.如果一阶显式方程 （1.9） 的右端函数可以改写为的函数，那么称方程(1.9)为一阶齐次 微分方程. 所以它们都是一阶齐次方程因此，一阶齐次微分方程可以 写为 (1.27) 1.3.1齐次方程的解法 方程(1.27)的特点是它的右端是一个以为 变元的函数，经过如下的变量变换，它能化 为变量可分离方程. 令 则有 代入方程(1.27)得 （1.28） 方程(1.28)是一个变量可分离方程，当时，分离 变量并积分，得到它的通积分 （1.29） 或 即 其中 以代入，得到原方程(1.27)的通积分 若存在常数，使，则，是(1.28)的解，由，得 是原方程(1.27)的解. 在一般情况下，如何判断方程(1.9)是齐次方程呢?这相当于考虑，什 么样的二元函数能化成形状为的函数.下面我们说明零次齐次 函数具有此性质. 所谓对于变元x和y是零次齐次式，是指对于任意的常数， 有恒等式 因此，令，则有 因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式. 如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程. 1.3.2第二类可化为变量可分离的方程 形如