2020-2021年上海市七宝中学高二下期中一、填空题1. 已知，若，则_【答案】【解析】【分析】直接利用组合数的计算公式求解即可【详解】解：因为，所以，解得，（舍故答案为：52. 直线(为参数)的倾斜角为_【答案】【解析】【分析】将参数方程化为普通方程，根据斜率为，即可求出倾斜角.【详解】消去参数可得，所以直线斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以，故答案为：.3. 在狂欢节上，有六名同学想报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目都有人报名，则共有_种不同的报名方法【答案】120【解析】【分析】根据题意，依次分析每个项目的报名方法，由分步计数原理即可求出结果.【详解】根据题意，每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目都有人报名，则第一个项目有6种报名方法，第二个项目有5种报名方法，第三个项目有4种报名方法，根据分步计数原理知共有种不同的报名方法，故答案为：120.4. 已知，则在上的投影为_【答案】【解析】【分析】根据空间点的坐标求出的坐标，结合空间向量的几何意义即可求出结果.【详解】因为，所以设与夹角为，所以根据空间向量的几何意义可得：在上的投影为，故答案为：5. 如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为_【答案】【解析】【分析】结合图形求出，再根据即可求出结果.【详解】由题意可知，又因为，所以，故答案为：.6. 已知是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是_；【答案】【解析】【分析】利用空间共面向量定理判断即可【详解】解：对于，因为是空间三个不共面的向量，且，所以不共面，所以符合题意；对于，因为，所以是共面向量，所以不符合题意；、对于，若是共面向量，则存在实数，使，即，因为是空间三个不共面的向量，所以，矛盾，所以不共面，所以符合题，故答案为：7. 公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和，并得到公式执行如图所示的程序，若输出的结果为6，则判断框中的实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：模拟程序的运行，可得当时，继续循环，当时，退出循环，输出的值为6，从而可得判断框中的实数的取值范围是，故答案为：，8. 北纬线贯穿四大文明古国：是一条神秘而又奇特的纬线在这条纬线附近有神秘的百慕大三角、著名的埃及金字塔、世界最高峰珠穆朗玛峰、长江等，沿地球北纬线前行，会发现许多奇妙且神秘的自然是观，在地球北纬圈上有两地，它们的经度相差，两地沿纬线圈的弧长与两地的球面距离之比为_【答案】【解析】【分析】设地球半径为，则北纬圈对应的小圆半径为，进而可得，两地沿纬线圈的弧长，两地的球面距离，由此可得，两地沿纬线圈的弧长与，两地的球面距离之比【详解】解：设地球半径为，则北纬圈对应的小圆半径为，所以两地沿纬线圈的弧长，劣弧在大圆内对应的圆心角为，所以两地的球面距离，故两地沿纬线圈的弧长与两地的球面距离之比为故答案为：9. 已知矩形所在平面，且到三点的距离分别是，则到矩形对角线的距离等于_【答案】2【解析】【分析】分别设，利用勾股定理建立等式分别求出，再由等积法即可得到答案.【详解】如图所示，设，因为矩形所在平面，易得，由可证平面，从而，在中，同理，解得，所以，过点A作AF垂直于BD于F，由等面积法易得：，所以.故答案为：2.10. 已知，若不等式组表示的平面区域的面积为，则_【答案】【解析】【分析】由题意画出可行域，由两个三角形面积作差得答案【详解】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，联立，解得，联立，解得，联立，解得，（a）故答案：.11. 方程中，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_条【答案】【解析】【详解】方程变形得，若表示抛物线，则，分五种情况：（1）当时，或或或.（2）当时，或或或,以上两种情况下有条重复，故共有条.（3）同理当或时，共有条.（4）当时，或或或，共有条，综上，共有，故答案为.【方法点睛】本题主要考查分类计数加法原理、分类讨论思想.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.12. 小明研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题:在三棱锥中，已知，(如图)，设二面角大小为，其中是一个与有关的代数式，请写出符合条件的_.【答案】【解析】【分析】先作出二面角，构造三角形，表示出各边长，利用余弦定理即可求解.【详解】在上任取一点，过点分别作交于，交于,则即为二面角的平面角，如图在中，在中，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得， 化简整理得 ，所以.故答案为【点睛】本题主要考查二面角的作法，余弦定理解三角形，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.二、选择题13. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图【详解】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：【点睛】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题14. 参数方程(为参数)表示的曲线是（ ）A. 双曲线B. 双曲线的下支C. 双曲线的上支D. 圆【答案】C【解析】【分析】先将参数方程化为普通方程，再由基本不等式求出的取范围，从而可得答案【详解】解：由，得且，两式相减得，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以曲线表示焦点在轴上，且双曲线的上支，故选：C15. 在正方体中，下列结论正确的是（ ）向量与的夹角是；正方体的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，可得为等边三角形，即可判断出正误；利用，利用数量积运算性质即可判断出正误；，即可判断出正误；利用，可得，进而判断出正误【详解】解：如图，连接，则为等边三角形，又，向量与的夹角是，不正确；，正确；，正确；，而正方体的体积，因此不正确故选：B16. 相同正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体某面平行，各顶点均在正方体表面上(如图)，该八面体体积的可能值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个【答案】D【解析】【分析】分析题意可知，正四棱锥的高为定值，底面各顶点在截面正方形的各边上移动，表示出底面的面积即可判断.【详解】设正四棱锥的底面与正方体的截面四边形为,显然为正方形且边长为1，如图：设，则，由平面几何知识可知，所以，故由题意可知正四棱锥的高为，故八面体体积为，有无数个.故选D【点睛】本题主要考查八面体的内接问题，考查空间想象能力及运算求解能力，属于中档题.三、解答题17. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，圆的直径，圆柱的高.（1）求圆柱的表面积和三棱锥的体积；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据底面半径，直接求出圆柱表面积，求出三角形APB的面积，进而求出三棱锥的体积；（2）以为坐标原点，垂直平分线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法公式求出点到平面的距离.【详解】解：（1）底面半径，则圆柱表面积：，为圆O直径，则，中，则；（2）以为坐标原点，垂直平分线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则有：.取.则有：.其中点到平面的距离为.【点睛】本题考查圆柱表面积，三棱锥的体积的求法，以及空间向量法求点到面的距离，考查学生计算能力，是中档题.18. 2021年3月25日人民日报报道：“作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020-2021年度棉花产量约万吨其中，新疆棉产量万吨，占国内总产量约除了新疆，河南、河北、山东、湖北等也是我国的棉花主要产地”某公司为响应国家扶贫号召，为某小型纺织工厂提供资金和技术的支持，并搭建销售平台现该公司为该厂提供新疆棉吨，河南棉吨该工厂打算生产两种不同类型的抱枕，款抱枕需要新疆棉，河南棉，款抱枕需要新疆棉，河南棉，且一个款抱枕的利润为元，一个款抱枕的利润为元假设工厂所生产的抱枕可全部售出（1）求工厂生产款抱枕和款抱枕各多少个时，可获得最大利润，最大利润是多少？（2）若工厂有两种销售方案可供选择，方案一：自行出售抱枕，则所获利润需上缴公司；方案二：由公司代售，则公司不分抱枕类型，让工厂每个抱枕获得元的利润请问该工厂选择哪种方案更划算？请说明理由【答案】（1）该工厂生产款抱枕个，款抱枕时可获得最大利润，最大利润为元；（2）选择方案一更划算；答案见解析【解析】【分析】（1）根据不等关系列出不等式组，再利用几何意义求解即可；（2）对于方案一：由得出工厂的利润；对于方案二：利用几何意义得出工厂的利润，从而作出判断；【详解】（1）设该工厂生产款抱枕个，款抱枕个时，获得的利润为元则，即目标函数，得出直线由图可知，当直线经过点时，取得最大值，即该工厂生产款抱枕个，款抱枕时可获得最大利润，最大利润为元（2）若工厂选择方案一，则其收益为元；若工厂选择方案二，则工厂生产的抱枕越多越好，设其生产的抱枕个数为则，由（1）知由图可知，平移直线，当，时，取得最大值，此时工厂的收益为元，故选择方案一更划算19. 如图，从左到右有5个空格.（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）直接利用排除法计算得到答案.（2）根据乘法原理计算得到答案.（3）将情况分为的组和的组，计算得到答案.【详解】（1）利用排除法：种.（2）根据乘法原理得到：共有种涂法.（3）若分成的组，则共有种分法；若分成的组，则共有种分法，