全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般命制2道小题或者1道解答题，分值占1012分2考查内容(1)高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算，等差、等比数列的性质为主(2)解答题一般以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，等差、等比数列的证明，数列求和的方法等.数列的概念与简单表示法考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数1数列的定义按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an3数列的通项公式如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个函数式anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式4数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式5an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an特别地，若a1满足anSnSn1(n2)，则不需要分段一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)1,1,1,1，不能构成一个数列()(3)任何一个数列都有唯一的通项公式()(4)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN*，都有an1Sn1Sn.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1数列1，的一个通项公式为()Aan Ban(1)nCan(1)n1 DanB由a11，代入检验可知选B.2在数列an中，已知a1，an11，则a3()A3 B C5 DDa215，a311.3已知数列an的前n项和Snn21，则an_.当n1时，a1S12.当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，故an4根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.5n4由a11514，a26524，a311534，归纳an5n4. 考点一由an与Sn的关系求通项公式 已知Sn求an的三个步骤(1)利用a1S1求出a1.(2)当n2时，利用anSnSn1(n2)求出an的表达式(3)看a1是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an典例1(1)已知数列an的前n项和Sn2n23n，则an_.(2)已知数列an满足a12a23a3nan2n，则an_.(1)4n5(2)(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(2)当n1时， a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由得nan2n2n12n1，an(n2)显然当n1时不满足上式，an点评：Sn与an关系问题的求解思路要根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解提醒：利用anSnSn1求通项时，应注意n2这一前提条件，易忽视验证n1致误已知正项数列an中，则数列an的通项公式为()AannBann2Can DanB，(n2)，两式相减得n(n2)，ann2(n2)，又当n1时，1，a11，适合式，ann2，nN*.故选B. 考点二由递推关系求通项公式 由递推关系求数列的通项公式的常用方法典例2(1)设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列an的通项公式为_(2)在数列an中，a11，anan1(n2，nN*)，则数列an的通项公式为_(3)已知数列an满足a11，an13an2(nN*)，则数列an的通项公式为_(1)an(2)an(3)an23n11(1)由题意得a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.a11，an(n2)当n1时也满足此式，an.(2)anan1(n2)，an1an2，an2an3，a2a1.以上(n1)个式子相乘得，ana1.当n1时，a11，符合上式，an.(3)an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.点评：由递推关系求通项公式的关键是“模型化”，即针对不同的关系选择不同的方法求解，但要理解如累加(积)法可类比等差(比)数列通项的求解方式得出，而构造法可结合等差(比)数列的定义求解1已知数列an中，a12，an1(nN*)，则数列an的通项公式an_.an1，a12，an0，即，又a12，则，是以为首项，为公差的等差数列(n1)，an.2已知数列an中，a11，an12an2n1，则数列an的通项公式an_.2nan12an2n1，两边同除以2n1，得1.又a11，是以首项为，公差为1的等差数列，(n1)1n.即an2n. 考点三数列的性质 1.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值2判断数列单调性的两种方法(1)作差(或商)法(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去3求数列中最大(小)项的两种方法(1)根据数列的单调性判断(2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值典例3(1)已知数列an满足an1，若a1，则a2 020()A1 B C1 D2(2)已知数列an的通项公式为annn，则数列an中的最大项为()A. B. C. D.(3)若ann2kn4且对于nN*，都有an1an成立，则实数k的取值范围是_(1)B(2)A(3) (3，)(1)由a1，an1，得a22，a31，a4，a52，于是可知数列an是以3为周期的周期数列，因此a2 020a36731a1.(2)法一：(作差比较法)an1an(n1)n1nnn，当n0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an.所以a1a4a5an，所以数列an中的最大项为a2或a3，且a2a322.故选A.法二：(作商比较法)，令1，解得n2；令1，解得n2；令2.又an0，故a1a4a5an，所以数列an中的最大项为a2或a3，且a2a322.故选A.(3)由an1an知该数列是一个递增数列，又通项公式ann2kn4，(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN*，k3.点评：(1)当待求的特定项am中m较大时，常考虑数列的周期性(2)数列的单调性常借助作差(商)法求得，这一点有别于函数的单调性，因为数列是离散的，故本例(3)在求参数k的范围时务必要小心1数列an的通项公式是an(n2)n，那么在此数列中()Aa7a8最大 Ba8a9最大C有唯一项a8最大 D有唯一项a7最大A，令1，即1，解得n7.当n7时，数列an递增，当n7时，数列an递减，即a1a2a7a8a9所以a7a8最大，故选A.2(2020雅礼中学模拟)在数列an中，a1a，an12an1，若an为递增数列，则a的取值范围为()Aa0 Ba1Ca2 Da3Ban12an1，an112(an1)，2，又a11a1，数列an1是首项为a1，公比为2的等比数列，an1(a1)2n1，an(a1)2n11，又an为递增数列，an1an(a1)2n(a1)2n1(a1)2n0，a10，a1，故选B.10