双曲线考试要求1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0，c0.当2a|F1F2|时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2y2(0)(2)等轴双曲线离心率e两条渐近线yx相互垂直1双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为F1PF2.2巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为 (t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2ny21(mn0)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ()Ax21By21Cx21D1A设所求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，得椭圆焦点为(1,0)，在x轴上的顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0)，焦点为(2,0). 所以a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为x21.2经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_1设等轴双曲线的方程为x2y2(0)由题意得91，8.即1.3若方程1表示双曲线，则m的取值范围是_(，2)(1，)因为方程1表示双曲线，所以(2m)(m1)0，即m1或m2.4双曲线1的实轴长为_，离心率为_，渐近线方程为_10yx双曲线1中a5，b224，c2252449，实轴长为2a10，离心率e，渐近线方程为yx. 考点一双曲线的定义及其应用 双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程(2)在“焦点三角形”中，当F1PF290时，SPF1F2b2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支典例1(1)已知双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于_(2)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_(3)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.(1)6(2)x21(x1)(3)(1)设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|4，则|PF1|PF2|2，故|PF2|6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为ca1，故|PF2|6.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)(3)因为由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|4，所以cosF1PF2.母题变迁1将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|PF2|sin 602.2将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“0”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，0，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，SF1PF2|PF1|PF2|2.点评：(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T(1)；(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T(2)1虚轴长为2，离心率e3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|8，则ABF2的周长为()A3 B16 C12D24B由于2b2，e3，b1，c3a，9a2a21，a.由双曲线的定义知，|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|，得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)，又|AF1|BF1|AB|8，|AF2|BF2|8，则ABF2的周长为16，故选B.2已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_9设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|4|PF1|，所以当|PF1|PA|最小时满足|PF|PA|最小由双曲线的图象(图略)，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|PA|最小，|AF1|即|PF1|PA|的最小值又|AF1|5，故所求的最小值为9. 考点二双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为(0)，再根据条件求的值1(2020兰州诊断)经过点M(2，2)且与双曲线1有相同渐近线的双曲线方程是()A1B1C1D1D设所求双曲线方程为(0)，又双曲线过点M(2，2)，所以6.即双曲线方程为1，故选D.2已知F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，PF1F230，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为()A1B1C1Dx21D由题意可知|PF1|，|PF2|，2b2，由双曲线的定义可得2a，即ca.又b，c2a2b2，a1，双曲线的标准方程为x21，故选D.3经过点P(3,2)，Q(6，7)的双曲线的标准方程为_1设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线方程为1.点评：结合题设条件，灵活选择双曲线的设法，可以快速求解双曲线的标准方程 考点三双曲线的几何性质 1.求双曲线渐近线方程的方法求双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.2求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解求双曲线的渐近线方程典例21(1)(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyxDyx(2)(2020广州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0(1)A(2)B(1)法一：(直接法)由题意知，e，所以ca，所以ba，即，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.法二：(公式法)由e，得，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.(2)假设点