11.1 与三角形有关线段 11.1.1 三角形边 1. 通过具体实例，认识三角形概念及其基本要素. 2. 学会三角形表示及根据“是否有边相等”对三角形进行分类. 3. 掌握三角形三边关系 . 阅读教材P24，完成预习内容 . 知识探究 ( 一)三角形 1. 定义：由不在 _ 三条线段首尾 _所组成图形 叫做三角形 . 2. 有关概念 如图，线段 AB ，BC ，CA是三角形 _，点 A，B，C是三角 形_， A， B， C是相邻两边组成角，叫做三角形 _， 简称三角形角 . 3. 表示方法：顶点是 A，B，C三角形，记作“ _”，读作 “_ ”. (1) 三角形表示方法中“”代表“三角形”，后边字母 为三角形三个顶点， 字母顺序可以自由安排， 即ABC ， ACB ， BAC ， BCA ，CAB ，CBA为同一个三角形 . ( 二)三角形分类 1. 等边三角形：三条边都 _三角形 . 2. 等腰三角形：有两边_三角形，其中相等两条边叫做 _，另一边叫做 _，两腰夹角叫做 _，腰和底边 夹角叫做 _. 3. 不等边三角形：三条边都_ 三角形. 4. 三角形按边相等关系分类 三角形 三角形 三角形 三角形 三角形 等边三角形是特殊等腰三角形，即底边和腰相等等腰三 角形. ( 三)三角形三边关系 1. 三角形任意两边之和 _第三边. 2. 推论：由于 abc，根据不等式性质，得cb72，即 x5. x 值大于 5 小于 9. 又它是奇数， x 只能取 7. 例 2用一根长为 18 厘米细铁丝围成一个等腰三角形. (1) 如果腰长是底边 2 倍，那么各边长是多少？ (2) 能围成有一边长为4 厘米等腰三角形吗？ 解：(1) 设底边长为 x 厘米，则腰长为 2x 厘米. 则 x2x2x18. 解得 x3.6. 三边长分别为3.6 厘米， 7.2 厘米， 7.2 厘米. (2) 当 4 厘米长为底边，设腰长为x 厘米，则 42x18. 解得 x7. 等腰三角形三边长为7 厘米， 7 厘米，4 厘米； 当 4 厘米长为腰长，设底边长为x 厘米， 则 42x18. 解得 x10. 4410， 此时不能构成三角形， 即可围成等腰三角形， 且三边长分别为7 厘米，7 厘米和 4 厘米. 活动 2跟踪训练 1. 现有两根木棒，它们长度分别为20 cm和 30 cm，若不改变木 棒长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取( ) A.10 cm木棒B.20 cm木棒 C.50 cm木棒D.60 cm木棒 2. 已知等腰三角形两边长分别为3 和 6，则它周长为 ( ) A.9 B.12 C.15 D.12 或 15 3. 若五条线段长分别是1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，则以 其中三条线段为边可构成_个三角形 . 4. 若等腰三角形两边长分别为3 和 7，则它周长为 _；若 等腰三角形两边长分别为3 和 4，则它周长为 _. 5. 找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来. 活动 3课堂小结 1. 三角形表示方法，三角形基本要素. 2. 三角形按边分类 . 3. 三角形三边关系，如何判断三条线段能否组成三角形. 【预习导学】 知识探究 ( 一)1. 同一条直线上顺次相接2. 边顶点内角 3. ABC 三角形ABC ( 二)1. 相等2. 相等腰底边顶角 底角3. 不相等4. 不等边等腰底边和腰不相等等腰等边 (三)1. 大于2. 小于3. 三边关系 自学反馈 1.C2.(1) 不能(2) 能(3) 能(4) 不能 【合作探究】 活动 2跟踪训练 1.B2.C3.3 4.17 10 或 11 5. 图中有 5 个三角形 . 分别是 ABE.DEC.BEC.ABC.DBC. 11.1.2 三角形高 . 中线与角平分线 1. 认识三角形高 . 中线与角平分线 . 2. 会画一个三角形高 . 中线与角平分线 . 阅读教材P45，完成预习内容 . 知识探究 1. 从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间 线段叫做 _. 2. 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点线段，叫做这个 _.三角形三条中线交点叫做三角形_. 3. 在三角形中， 一个内角平分线与它对边相交，这个角顶点与交 点之间线段叫 _. 自学反馈 1. 三角形高：如图 1，从ABC顶点 A向它所对边 BC所在直线画 垂线， 垂足为 D， 所得线段 AD叫做 ABC 边 BC上_.AD是ABC 高，则 AD _. 2. 三角形中线：如图 2， 连接ABC顶点 A和它所对边 BC中点 D， 所得线段 AD叫做ABC边 BC上_.AD是ABC中线，则 BD _. 3. 三角形角平分线：如图3，BAC平分线 AD ，交BAC对边 BC 于点 D，所得线段 AD叫做ABC_.AD 是ABC角平分线，则 BAD _. 活动 1小组讨论 1. 用工具准确画出三角形高. 如图，线段 AD是ABC中 BC边上高. 注意：标明垂直记号和垂足字母. 回忆并演示“过一点画已知直线垂线”画法. 分别在下列锐角三角形.直角三角形 . 钝角三角形中画出所有高， 观察高与三角形位置关系. 由作图可得出如下结论：(1) 三角形三条高线相交于1 点；(2) 锐角三角形三条高线相交于三角形内部；(3) 钝角三角形三条高线相 交于三角形外部； (4) 直角三角形三条高线相交于三角形直角顶点. 2. 画三角形中线 . 如图，线段 AD是ABC中 BC边上中线 . 分别在下列锐角三角形. 直角三角形 . 钝角三角形中画出所有中 线，观察中线与三角形位置关系. 由作图可得出如下结论：(1) 三角形三条中线相交于1 点；(2) 锐角三角形三条中线相交于三角形内部；(3) 钝角三角形三条中线相 交于三角形内部； (4) 直角三角形三条中线相交于三角形内部. 3. 画三角形角平分线 . 如图，线段 AD是ABC一条角平分线，图中 BAD CAD. 分别在下列锐角三角形. 直角三角形 . 钝角三角形中画出所有角 平分线，观察角平分线与三角形位置关系. 由作图可得出如下结论：(1) 三角形三条角平分线相交于1 点； (2) 锐角三角形三条角平分线相交于三角形内部；(3) 钝角三角形三条 角平分线相交于三角形内部；(4) 直角三角形三条角平分线相交于三 角形内部 . 活动 2跟踪训练 1. 一个三角形三条高交点是三角形一个顶点，则这个三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 2. 如图，AD是ABC高，AE是ABC角平分线，AF是ABC中线， 则图中相等角是_ ，相等线段是 _. 3. 三角形角平分线与角平分线有什么区别？高与垂线呢？ 4. 一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？ 活动 3课堂小结 1. 三角形高 . 中线. 角平分线概念及画法 . 2. 运用三角形高 . 中线. 角平分线可得到相等线段和相等角. 【预习导学】 知识探究 1. 三角形高2. 三角形中线重心3. 三角形角平分线 自学反馈 1. 高BC 2. 中线CD 3. 角平分线CAD 【合作探究】 活动 2跟踪训练 1.B2. BAE和CAE ，ADB和ADC BF和 CF 3. 三角形角 平分线是线段，角平分线是射线；高是线段，垂线是直线. 4. 一个 三角形有 3 条高， 3 条中线， 3 条角平分线 . 11.1.3 三角形稳定性 1. 通过观察和实际操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定 性. 2. 了解稳定性与不稳定性在生产. 生活中广泛应用 . 阅读教材P67，完成预习内容 . 知识探究 三角形 _稳定性，四边形 _稳定性. 自学反馈 1. 下列图中具有稳定性有 ( ) A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 2. 人站在晃动公共汽车上， 若你分开两腿站立， 则需伸出一只手 去抓住栏杆才能站稳，这是利用了_. 3. 下列设备，没有利用三角形稳定性是( ) A. 活动四边形衣架B. 起重机 C. 屋顶三角形钢架D. 索道支架 活动 1小组讨论 1. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗 框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？(防止窗框变形 ) 2. 动手操作探究三角形稳定性. (1) 三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它形状 会改变吗？ (不会) (2) 四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它形状 会改变吗？ (会) (3) 在四边形木架上再钉一根木条，将它一对顶点连接起来，然 后扭动它，它形状会改变吗？(不会) 从上面实验过程中你能得出什么结论？与同学交流. 解：三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是 说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性. 第一个三角形不变形，第二个四边形变形，当在四边形 木架上再钉一根木条，然后扭动它，不变形. 通过对比得出三角形具 有稳定性结论 . 还有什么发现？ 解：还可以发现，斜钉一根木条四边形木架形状不会改变. 原因 是斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性， 所以斜钉一根木条四边形木架形状不会改变. 现在你知道为什么窗框未安装好之前，要先在窗框上斜 钉一根木条了吧 . 其实就是利用了三角形稳定性. 3. 四边形不稳定性应用 四边形不稳定性是我们常常需要克服，那么四边形不稳定性在生 活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？ 活动 2跟踪训练 1. 下列图形中哪些具有稳定性？ 判断一个图形是否稳定，关键是看图形中是否都是 三角形 . 2. 如图，桥梁斜拉钢索是三角形结构，主要是为了( ) A. 节省材料，节约成本B. 保持对称 C. 利用三角形稳定性D. 美观漂亮 3. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF和 EG固定门框 ABCD ， 使其不变形，这种做法根据是( ) A. 两点之间线段最短B. 矩形对称性 C. 矩形四个角都是直角D. 三角形稳定性 活动 3课堂小结 运用三角形稳定性和四边形不稳定性解释其在生活中应用. 【预习导学】 知识探究 具有没有 自学反馈 1.C2. 三角形稳定性3.A 【合作探究】 活动 2跟踪训练 1. 图(1) ，(4) ，(6) 具有稳定性 . 2.C3.D 11.2.2 三角形外角 1. 探索并了解三角形外角两条性质. 2. 利用学过定理论证这些性质. 3. 利用三角形外角性质解决与其有关实际问题. 阅读教材P1415，完成预习内容 . 1. 如图 1，把ABC一边 BC延长，得到 ACD. 像这样，三角形一 边与另一边延长线组成角，叫做_. 图 1 如图 2，一个三角形有 _个外角 . 每个顶点处有 _ 个外角 . 图 2 2. 如图 1，ABC中，A80，B40，ACD 是ABC一 个外角，则ACD _. 试猜想 ACD与 A， B 关系是 _. 3. 试结合图形写出证明过程： 证明：过点 C作 CM AB ，延长 BC到 D. 则1A(两直线平行，内错角相等)， 2B(两直线平行，同位角相等) ， 所以 12AB， 即_AB. 知识探究 一般地，由三角形内角和定理可以推出： 三角形外角等于与它不相邻_. 自学反馈 1. 判断下列 1 是哪个三角形外角： 2. 求下列各图中 1 度数. 活动 1小组讨论 1. 如图 123？ 解： 1BAC 180， 2ABC 180， 3ACB 180， 三个式子相加得到： 123BAC ABC ACB 540. 而BAC ABC ACB 180， 所以 123360. 2. 结论：三角形外角和是360. 活动 2跟踪训练 1. 求下列各图中 1 度数. 2. 求下列各图中 1 和2 度数. 3. 已知三角形各外角比为234，求它每个外角度数？ 4. 如图， AB CD ，A40， D45，求 1 和2. 活动 3课堂小结 三角形外角性质： 1. 三角形一个外角等于与它不相邻两个内角和. 2. 三角形外角和是 360. 【预习导学】 1. 三角形外角6 2 2.120ABACD 3.