中考常见最值问题归纳总结微专题三：双线段最值+（PA+PB）型WORKING PLAN REPORTLOGO微专题三：双线段最值+（PA+PB）型类型一：两定一动（将军饮马问题）考法指导这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。【典例精析】例题1.如图，A，B为两定点，点P在定直线上运动，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【解法】作点A关于直线的对称点A，连接PA，则PA=PA，所以PA+PB=PA+PB当A、P、B三点共线的时候，PA+PB=AB，此时为最小值（两点之间线段最短）【针对训练】1（2019四川省初三）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE2，AB8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_2（2017天津中考真题）如图，在中，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）ABCD3（2017贵州中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）ABC9D4（2017湖北中考真题）如图，AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，AOB=30，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_5（2017山东中考真题）如图，菱形ABCD的边长为6，ABC=120，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）6（2019辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，（1）求反比例函数的解析式；（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标7（2018山东中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EHDF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MNCD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求PDC周长的最小值8（2018湖南中考真题）综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C(1)求抛物线的解析式(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N若以C，P，N为顶点的三角形与APM相似，则CPN的面积为；若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由注：二次函数y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为()9（2019湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由10（2019贵州中考真题）如图，以D为顶点的抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=x+3（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由11（2019青海中考真题）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）12（2017四川中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=14AB（1）求证：EFAG；（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EFAG是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当SPAB=SOAB，求PAB周长的最小值类型二：两定两动考法指导运用平移变换，把保持平移后的线段与原来线段平行且相等的特性下，把无公共端点的两线段移动到具有公共端点的新位置，从而转化为两点之间线段最短问题求解最值。【典例精析】例题1.已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？(将军过桥)【解法】考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A位置问题化为求AN+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置例题2.已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？(将军遛马）【解法】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可将AM平移使M、N重合，AM=AN，将AM+BN转化为AN+NB构造点A关于MN的对称点A，连接AB，可依次确定N、M位置，可得路线【针对训练】1（2019天津中考模拟）如图，在矩形中， ， ，为的中点，若为边上的两个动点，且，若想使得四边形的周长最小，则的长度应为_.2（2017四川中考真题）如图，已知直线l1l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足ABl2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=_3（2020广东中考真题）如图所示抛物线过点，点，且（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为35两部分，求点的坐标.类型三：一定两动考法指导一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。【典例精析】例题1.点P是定点，在OA、OB上分别取M、N，使得PM+MN最小。【解法】作点P关于OA对称的点P，将折线段PM+MN转化为PM+MN，即过点P作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（垂线段最短）例题2.点P是定点，在OA、OB上分别取点M、N，使得PMN周长最小【解法】分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP，当P、M、N、P共线时，PMN周长最小【针对训练】1（2019四川中考真题）如图，在边长为的菱形中，将沿射线的方向平移得到，分别连接，则的最小值为_.2（2020郯城县第三中学初三月考）如图，抛物线y=ax25ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BDx轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值