2 天津一中 2020-2021-1 高三年级数学学科一月考试卷 本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第 I 卷 1 页，第 II 卷 至2页。考生务必将答案涂写在规定的位置上，答 在试卷上的无效。 一选择题 1已知全集U R，|0Ax x，|1Bx x ，则 U C AB （） A1,0B 1,1 C1, D0,1 2“( 1) (1)0ba ”是“log0 ab ”成立的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 3已知 3 log 5a ， 0.2 3b ， 1.2 3c ，则（） AbcaBbacCacbDabc 4函数 2x f xxtx e （实数t为常数，且0t ）的图象大致是（） ABCD 5若0, 2 ，且2cos2 sin 4 ，则sin2的值为（） A 1 8 B 3 8 C 1 2 D 7 8 6为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从 6 名医生和 4 名护士中抽选 3 人（医生 和护士均至少有一人）分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要 求医生不能去A地区，则分配方案共有（） A264 种B224 种C250 种D236 种 7已知函数 2 1 ( )sincos 2 f xxxxx，则不等式(23)(1)0fxf的解集为 （） 3 A( 2, ) B( 1, ) C( 2, 1) D( , 1) 8设函数 21,2 5,2 x x f x xx ，若互不相等的实数, , a b c满足 f af bf c ， 则2 22 abc 的取值范围是（ ） A16,32B18,34C17,35D6,7 9. 已知函数 1 3,( 1,0 ( ),( )( )1,11 ,(0,1 且在( x f xg xf xmxmx xx 内有且仅有 两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A 91 (, 2(0, 42 B 111 (, 2(0, 42 C 92 (, 2(0, 43 D 112 (, 2(0, 43 二填空题 10设复数z满足25zi，则zi 11已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等， 则图中x的值为 12命题“ 2 230 xRaxax ，恒成立”是假命题，则实数a的取值范 围是 13已知 1 cos 4 ，则sin( 2 ) 2 14.在 5 2 1 2- x x 的二项展开式中，x的系数为 15设函数 2 17 22 ,0 4 ,0 k xx f x xx ， 4 0) 3 -（ g xk xk，若存在唯一 的整数x使得 f xg x，则实数k的取值范围是 三解答题 16在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知 cos( 2)cosaCbcA （1）求A； 4 （2）若2 5,2 2ab， （）求边c的值； （）求ABC的面积 17随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加为 此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运 动的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计 表； 平均每月进行训练的天数 x 5x 520 x20 x 人数106030 （1）以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的 人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽 取 4 个人，求恰好有 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这 100 个人中抽取 20 个，再从抽取的 20 个人中 随机抽取 4 个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，求Y 的分布列及数学期望 E Y 18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形 ABCD是矩形，2PAAB，4AD，E是PB的中点， AFPC，垂足为F. （1）证明：/PD平面ACE. （2）求点F到平面PAB的距离； （3）求二面角AEFC的正弦值. 19已知函数 ln1 a fxx x . （1）若曲线 yf x存在斜率为-1 的切线，求实数 a 的取值范围； （2）求函数 fx的单调区间； （3）设函数 ln xa g x x ，求证：当10a 时， g x在1,上存在极小值. 5 20已知函数 1 ( )(ln ) x f xxea xx ，aR. （1）当=1a时，求函数 fx的单减区间； （2）若 ( )f x 存在极小值，求实数a的取值范围； （3）设 0 x是( )f x的极小值点，且 0 ()0f x ，证明： 23 000 2fxxx . 6 参考答案 一、单选题 1A2B3B 4B 【解析】 【分析】 先由函数零点的个数排除选项 A,C;再结合函数的单调性即可得到选项. 【详解】 由 f（x）=0 得 x2+tx=0，得 x=0 或 x=-t，即函数 f（x）有两个零点，排除 A，C， 函数的导数 f（x）=（2x+t）ex+（x2+tx）ex=x2+（t+2）x+tex， 当 x-时，f（x）0，即在 x 轴最左侧，函数 f（x）为增函数，排除 D， 故选 B 5D 6A 【解析】 【分析】 分类计数，考虑选取 1 名医生 2 名护士和选取 2 名医生 1 名护士两类情况求解. 【详解】 当选取的是 1 名医生 2 名护士，共有 12 64 36C C 种选法，分配到A，B，C三个地区参加 医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 2 2 24A 种，即一共 36 4144种方案； 当选取的是 2 名医生 1 名护士，共有 21 64 60C C 种选法，分配到A，B，C三个地区参加 医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 2 2 2A 种，即一共 60 2120种方案. 综上所述：分配方案共有 264 种. 故选：A 7C 【解析】 【分析】 根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在0， ) 上的单调性，结 合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可 【详解】 解： 22 11 ()sin()cos()sincos( ) 22 fxxxxxxxxxf x ， 则 ( )f x 是偶函数， ( )sincossincos(1cos )fxxxxxxxxxxx ， 当0 x时， ( ) 0fx ，即函数在0， ) 上为增函数， 则不等式 (23)(1)0fxf 得 231fxf ，即 |23|1fxf ， 7 则|2 3| 1x ，得1231x ，得21x ， 即不等式的解集为( 2, 1) ， 故选：C 【点睛】 本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单 调性的关系进行转化是解决本题的关键属于中档题 8B 【解析】 【分析】 画出函数 fx的图象，不妨令abc，则2 22 ab 结合图象可得45c，从而 可得结果 【详解】 画出函数 fx的图象如图所示 不妨令abc，则1 2 21 ab ，则2 22 ab 结合图象可得45c，故16232 c 1822234 abc 选 B 【点睛】 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一 种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究 函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有： 1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质 9A 【解析】 【详解】 【分析】 试题分析：令，分别作出与的图像如下， 8 由图像知是过定点的一条直线，当直线绕着定点转动时，与 图像产生不同的交点.当直线在轴和直线及切线和直线之间时，与图 像产生两个交点，此时或 故答案选A. 考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用. 102 2 114 12 30aa或 13 7 8 14-40 15 17 3 ,6 【解析】 【分析】 根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数x使得 f xg x数形结合列出 临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】 解：函数 2 17 22 ,0 4 ,0 k xx f x xx ,且 0,k 画出 fx的图象如下： 9 因为 4 3 g xk x ,且存在唯一的整数 , x 使得 f xg x , 故 g x与 fx在0 x 时无交点, 17 4 k k ,得 17 3 k； 又 4 3 g xk x , g x过定点 4 ,0 3 又由图像可知,若存在唯一的整数x使得 f xg x 时 4 3 x ,所以2x 585 339 39 gkf, 存在唯一的整数3,x 使得 f xg x 所以 2 224 3 gkf6k 8 4416 3 gkf6k.根据图像可知,当4x 时, f xg x恒成立. 综上所述,存在唯一的整数 3,x 使得 f xg x ,此时 17 6 3 k 故答案为： 17 3 ,6 【点睛】 本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点 4 ,0 3 右边的 整数点中3x 为满足条件的唯一整数,再数形结合列出2,4x时的不等式求k的范围.属 于难题. 10 16（1）45A ；（2）6. sincoscossin2sincos sin2sincos 2 cos 2 45 5 (2)sin 5 3 sinsin() 10 1 sinsin6 2 ACACBA BBA A A b ABCA a cAB AabC （1）+= 11 17 222 4 4 14 4 20 13 64 20 22 614 4 20 303 (20) 10010 331323 ( )() (1) 10105000 (2)5,25201220:6 1001 4845 2184 () 4845 136 () p x p AC xxx C C C C p C C C p C （1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A 由题意，分别抽取人，： 人，人 Y的所有可能取值为0,1,2,3,4 p(Y=0)= Y=1 Y=2 31 614 4 20 4 6 4 20 5 4845 280 () 4845 15 () 4845 C C p C C p C Y=3 Y=4 Y 的分布列Y01234 P 1001 4845 2184 4845 1365 4845 280 4845 15 4845 58146 1.2 48455 EY= 12 18 1 / / 2 / / (2,4, 2) (2 ABCD OBD EOPD EOACE PDACE PDACE FPFPC F （1）连BD交于AC于O，连EO 矩形 为中点 又面 平面 （2） PA平面ABCD ABCD为矩形 PA，AB，AD两两垂直 如图连系，则A(0,0,0) D（0,4,0） B(2,0,0)C(2,4,0)E(1,0,1)P(0,0,2) 由题意设（x,y,z）设 （x,y,z-2）= ,4 ,22 ) 0 2 24 42(22 )0 1 6 1 2 5 ( , ) 3 3 3 , |2 3| F PAB AF PC F PABAD AF AD AB 又平面的一个法向量为（0,4 0） 点F到平面PAB的距离 d 13 (3)( , , ) 0 0 25 0 0 333 1(1,2, 1) ( , , ) 040 20 0 (1,0,1) | cos AEFnx y z xz n AE xyz n AF xn EFCmx y z m ECxyz xyz m FC m AEFC m n 设平面的法向量为 则即 令 设平面的法向量为 则即 二面角为 0 | | sin1 mn 14 19(1),0.(2)答案见解析；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】