深圳市高级中学深圳市高级中学 2020-2021 学年第一学期期学年第一学期期末末考试考试 高一数学高一数学 命题人：命题人：雷蕾雷蕾 审题人：审题人：郑方兴郑方兴 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 设全集 2 , |20, |10UR Ax xxBxx，则AB=（ ）. A | 1x x B |1x x C |01xx D |12xx 2. 已知角的终边过点 (sin1, cos1)P，则是第（ ）象限角. A 一 B二 C 三 D 四 3. 6 x 是 1 sin 2 x 的 （ ）. A . 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 4. 已知 12 sincos,0 252 ，则cossin （ ）. A 1 5 B 1 5 C 7 5 D 7 5 5. 已知函数( )f x是定义在2,)的单调递增函数，若 22 (254)(4)faaf aa，则实数 a 的取 值范围是（ ）. A. 2 1 , (2,) B. 2, 6) C. 1 0, 2 2, 6) D. (0, 6) 6. 素数也叫质数，部分素数可写成21 n 的形式(n 是素数)，法国数学家马丁 梅森就是研究素数的数学 家中成就很高的一位，因此后人将21 n 形式(n 是素数)的素数称为梅森素数.2018 年底发现的第 51 个梅 森素数是 82589933 21P，它是目前最大的梅森素数已知第 8 个梅森素数为 31 21P ，第 9 个梅森素 数为 61 21Q ，则lg Q P 约等于(参考：在,Q P很大的条件下 1 1 QQ PP ；lg20.3)( ). A7 B8 C9 D10 7. 已知函数( )2sin (0) 4 f xx 在区间0, 8 上单调递增，则的最大值为（ ）. A 1 2 B1 C2 D4 8. 对于函数 yf x，若存在 0 x，使 00 ()f xfx=，则称点 00 (,()xf x与点 00 (,()xfx是函数 ( )f x的一对“隐对称点”若函数 2 2 ,0 ( ) 2,0. xx x f x mxx 的图象存在“隐对称点”，则实数 m 的取值范围是 ( ). A22 2, 0) B(, 22 2 C(, 22 2 D(0, 22 2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 下列选项中，与 11 sin() 6 的值相等的是（ ）. A2sin15 sin75 Bcos18 cos42 sin18 sin42 C 2 2cos 151 D 2 tan22.5 1 tan 22.5 10. 关于函数( )sin2cos2f xxx，下列命题中为真命题的是( ). A函数( )yf x的周期为 B直线 4 x 是( )yf x的一条对称轴 C点(, 0) 8 是( )yf x的图象的一个对称中心 D( )yf x的最大值是2 11. 下列说法正确的是（ ）. A若 ,0 x y ，满足2xy，则2 2 xy 的最大值为4 B若 1 2 x ，则函数 1 2 21 yx x 的最小值为3 C若 ,0 x y ，满足3xyxy，则x y 的最小值为2 D函数 22 14 sincos y xx 的最小值为9 12. 已知函数 2 2cos 22f xx，下列命题中的真命题有（ ）. A R ，f x为奇函数 B 3 0, 4 ， 2f xf x对xR恒成立 C 1 x， 2 xR，若 12 2f xf x，则 12 xx的最小值为 4 D 1 x， 2 xR，若 12 0f xf x，则 12 xxkkZ 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 函数( ) lg(2)f xx的定义域是 14. 将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平 移 3 个单位，得到的图象对应的解析式是 . 15. ( )tan() 23 f xx 的单调区间是 16. 已知函数 4,4, ( ) 4,4. xx f x xx 若存在正实数k，使得方程( ) k f x x 有三个互不相等的 实根 123 ,x xx ，则 123 xxx的取值范围是 . 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分） 已知 2sincos3. 3sin2cos8 （1）求tan的值； （2）求 22 2sincos sincos 的值. 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( )() 21 x f xm mR 是奇函数. （1）求实数m的值； （2）判断( )f x的单调性（不用证明） ； （3）求不等式 2 ( 2)0f xxf的解集. 19. （本小题满分 12 分） 已知 3 3 tan4 3, sin(), 14 且0 . 2 （1）求sin和cos； （2）求的值. 20. （本小题满分 12 分） 已知某观光海域 AB 段的长度为 3 百公里，一超级快艇在 AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行 费用 Q（单位：万元）与速度 v（单位：百公里/小时）（03v）的以下数据： v 0 1 2 3 Q 0 0.7 1.6 3.3 为描述该超级快艇每小时航行费用 Q 与速度 v 的关系，现有以下三种函数模型供选择： 32 Qavbvcv，0.5vQa，logaQkvb （1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少？并求出最少航行费用 21. （本小题满分 12 分） 如图，在半径为3，圆心角为60的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA 上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y. （1）设PNx，将y表示成x的函数关系式； （2）设POB，将y表示成的函数关系式；并求出y的最大值. 22. （本小题满分 12 分） 已知定义在区间(0,)上的函数 4 ( )5.f xx x （1）求函数( )f x的零点； （2）若方程( )(0)f xmm有四个不等实根 1234 ,x xxx，证明 1234 16x xxx； （3）在区间1, 4上是否存在实数,()a b ab，使得函数( )f x在区间 ,a b上单调，且( )f x的值域为 ,ma mb，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 高一数学答案高一数学答案 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有有 多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 123456789101112 CAADCCCBABDACDCDBC 填空题答案 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.(, 2)14.sin() 26 x y 15. 51 (2 ,2 ), 33 kkkZ 16.(8,62 2) 解答题答案 17（本小题满分 10 分） 已知 2sincos3. 3sin2cos8 （1）求tan的值；（2）求 22 2sincos sincos 的值. 解： （1）原式可化为： 2sincos3 tan2 3sin2cos8 ； （2） 22 2sincos sincos = 4 3 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( )() 21 x f xm mR 是奇函数. （1）求实数m的值； （2）判断( )f x的单调性（不用证明） ； （3）求不等式 2 ( 2)0fxxf的解集. 解： （1）由 1 ( ) 21 x f xm 的定义域为R， 可得 1 (0)0 2 fm， 可得 1 2 m ；经验证， 1 2 m 符合题意. 1 2 m 11 ( ) 212 x f x ， (2)由2x为增函数，所以2 1 x 为增函数，且2 11 x ， 所以 1 21 x 为减函数，可得 11 ( ) 212 x f x 在R上为减函数， （3）由 2 ( 2)0fxxf，可得 2 ( 2)f xxf ， 即 2 (2)f xxf， 由 11 ( ) 212 x f x 在R上为减函数， 所以 2 2xx ，即 2 20 xx ，所以1x 或2x ， 故解集为 , 12, . 19. （本小题满分 12 分） 已知 3 3 tan4 3, sin(), 14 且0. 2 （1）求sin和cos； （2）求的值. 【答案】(1) 4 3 sin 7 , 1 cos 7 (2) 3 【详解】 (1)由0 2 ，则sin0，cos0 由tan 4 3 ，即 sin 4 3, cos 即sin 4 3cos 由 222 1sincos49cos ，则 1 cos 7 ， 所以 4 3 sin4 3cos 7 （2） 3 3 sin(), 14 0. 2 所以0 2 ，所以 2 13 cos()1 sin (), 14 coscoscoscossinsin 1134 33 31 7147142 又0 2 ，所以 3 20. （本小题满分 12 分） 已知某观光海域 AB 段的长度为 3 百公里，一超级快艇在 AB 段航行，经过多次试验得到 其每小时航行费用 Q（单位：万元）与速度 v（单位：百公里/小时）（03v）的以 下数据： v0123 Q00.71.63.3 为描述该超级快艇每小时航行费用 Q 与速度 v 的关系，现有以下三种函数模型供选择： 32 Qavbvcv，0.5vQa，logaQkvb （1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2） 该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少？并求出最少航行费用 解：（1）若选择函数模型 Q0.5v+a，则该函数在0, 3v上为单调减函数， 这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型， 若选择函数模型 Qklogav+b，须 y0，这与试验数据在 v0 时有意义矛盾， 所以不选择该函数模型； 从而只能选择函数模型 Qav3+bv2+cv，由试验数据得， a+b+c0.7， 8a+4b+2c1.6， 27a+9b+3c3.3， 联立解得：0.1,0.2,0.8abc ； 故所求函数解析式为： 32 0.10.20.8 , (03)Qvvvv （2）设超级快艇在 AB 段的航行费用为 y（万元） 则所需时间为（小时），其中：03， 结合（1）知，y（0.1v30.2v2+0.8v） 0.3（v1）2+7 所以当1 时，ymin2.1 答：（1）相应的函数解析式：Q0.1v30.2v2+0.8v，（0v3）；当该超级快艇以 1 百 公里/小时航行时可使 AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为 2.1 万元； 21. （本小题满分 12 分） 如图，在半径为3，圆心角为60的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ， 使点Q在O