一、选择题二、填空题三、解答题23（2020衢州）如图1，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A，C分别是直线 与坐标轴的交点，点B的坐标为(2，0)，点D是边AC上的一点，DEBC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：线段EF长度是否有最小值；BEF能否成为直角三角形小明尝试用“观察猜想验证应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2），请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值（3）小明通过观察，推理，发现BEF能成为直角三角形，请你求出当BEF为直角三角形时m的值解析（1）按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线进行连线可得函数的图象，从函数的形状可知它为抛物线；（2）由D、F两点的对称性，通过全等三角形以及函数的解析式可得用含m的代数式表示出D、F和E点的坐标，然后利用两点间距离公式可得EF2的解析式，再由点C的坐标可得m的取值范围；（3）分FBE、BEF和BFE是否为直角进行讨论，并利用两点间距离公式进行求解.答案解： （1）画图如下：猜想函数的类别为二次函数； 图1（2）如图1，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则FGK=DHK=90.设FD交y轴于点K，D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，KF=KD,FKG=DKH，RtFGKRtDHK,FG=DH.由yAC=-可知A(0,4) ,又B为（-2，0），yAB=2x+4,过点F作FRx轴于点R，D点的横坐标为m，F(-m，-2m+4)，ER=2m，FR=-2m+4，EF2=FR2+ER2,l=EF2=8m2-16m+16=8(m-1)2+8.令-=0，解得x=1.5,，当m=1时，l的最小值为8.EF的最小值为2.（3）分以下三种情形进行讨论：FBE为定角，不可能为直角；当BEF=90，E点与O点重合，D点与A点、F点重合，此时m=0；当BFE=90时，如图2，由于BF2+EF2=BE2, 由（2）得EF28m216m+16，又BRm+2，FR2m+4，BF2BR2+FR2（m+2）2+（2m+4）25m220m+20，又BE2（m+2）2，（5m220m+8）+（8m216m+16）2（m+2）2，化简得，3m210m+80，解得m1=,m2=2（不符题意，舍去），综上，当BEF为直角三角形时，m=0或.24（2020衢州）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分BAC，交BC于点E作DFAE于点H，分别交AB，AC于点F，G（1）判断AFG的形状并说明理由；（2）求证：BF2OG【迁移应用】（3）记DGO的面积为S1，DBF的面积为S2，当时，求的值；【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tanBAE的值解析（1）如图1中，AFG是等腰三角形利用全等三角形的性质来进行证明（2）如图2中，过点O作OLAB交DF于L，则AFGOLG首先证明OGOL，再证明BF2OL，即BF2OG（3）如图3中，过点D作DKAC于K，则DKACDA90，利用相似三角形的性质解决问题即可（4）设OGa，AGk分两种情形：如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF分别求解即可解决问题答案解：如图1中，AFG是等腰三角形理由：AE平分BAC，12，DFAE，AHFAHG90，AHAH，AHFAHG，AFAG，AFG是等腰三角形（2）证明：如图2中，过点O作OLAB交DF于L，则AFGOLGAFAG，AFGAGF，AGFOGL，OGLOLG，OGOL，OLAB，DLODFB，四边形ABCD是矩形，BD2OD，BF2OL，BF2OG（3）解：如图3中，过点D作DKAC于K，则DKACDA90，DAKCAD，ADKACD，. S1OGDK，S2BFAD，又BF2OG，设CD2x，AC3x，则ADx，（4）解：设OGa，AGk如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上AFAG，BF2OG，AFAGk，BF2a，ABk+2a，AC2AO=2（k+a），AD2AC2CD22（k+a）2（k+2a）23k2+4ka，ABEDAF90，BAEADF，ABEDAF，BE，由题意：102aAD（k+2a），AD210ka，即10ka3k2+4ka，k2a，AD2a，BEa，AB4a，tanBAE如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EFAFAG，BF2OG，AFAGk，BF2a，ABk2a，AC2（ka），AD2AC2CD22（ka）2（k2a）23k24ka，ABEDAF90，BAEADF，ABEDAF，BE，由题意：102aAD（k2a），AD210ka，即10ka3k24ka，ka，ADa，BEa，ABa，tanBAE，综上所述，tanBAE的值为或23.(2020宁波)【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF4，BE3，求AD的长.【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是ABC内一点，EFAC，AC2EF，EDFBAD，AE2，DF5，求菱形ABCD的边长.解析本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质及菱形的性质（1）由两角相等证明ADCACB，再由相似三角形的性质证明结论；（2）解决这类发现、探究类问题要将后面求解内容转化为前面已经解决的问题进行求解，所以要求AD，首先根据平行四边形的性质将AD转化为BC，再由已知及图形性质证明BFEBCF，最后由相似三角形的性质求得AD的长；（3）把图形（3）通过辅助线转化为（2）中的图形，为此分别延长EF，DC相交于点G，构造平行四边形AEGC，由相似三角形的性质及已知条件求得DG，进而求得菱形边长答案23.解：（1）ACDB，AA，ADCACB，AD:ACAC:AB，AC2ADAB（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AC，又BFEA，BFEC，又FBECBF，BFEBCF，BF2BEBC，BC，AD（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G.四边形ABCD是菱形，AB/DC，BACBAD，四边形AEGC为平行四边形，ACEG，CGAE，EACG，EDFBAC，EDFG，又DEFGED，EDFEGD，DE2EFEG，又EGAC2EF，DE22EF2，DEEF，又DG:DFDE:EF，DGDF5，DCDGCG52.23（2020嘉兴）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中ACBDFE90，BCEF3cm，ACDF4cm，并进行如下研究活动活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）求AF的长活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转度（090），连结OB，OE（如图4）【探究】当EF平分AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由解析本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质、图形的变换等知识【思考】由ABCDEF可知，ABDE，BACADE，ABDE，所以四边形ABDE是平行四边形；【发现】连接BE交AD于点O，由矩形可知OAOBOEOD，又AFDC，得到OFOC，在RtOEF中，设AFx，则ADx4，OA，所以OFOAAF，所以，解得AF。【探究】BD2OF.由FE平分OEA以及OFEF可知延长OF交AE于点H，从而得到OEH是等腰三角形，OFFH，只需证明OBDOEH即可。答案解：【思考】四边形ABDE是平行四边形证明：如图，ABCDEF，ABDE，BACEDF，ABDE，四边形ABDE是平行四边形.【发现】如图，连接BE交AD于点O，四边形ABDE为矩形，OAODOBOE，设AFx（cm），则OAOE（x+4），OFOAAF2x，在RtOFE中，OF2+EF2OE2，解得：x，AFcm【探究】BD2OF，证明：如图，延长OF交AE于点H，纸片DEF绕点O旋转前，四边形ABDE为矩形，OAOBOEOD.纸片DEF绕点O旋转后，由旋转的性质可知，OAOBOEOD，OBDODB，OAEOEA.ABD+BDE+DEA+EAB360，ABD+BAE180，AEBD，OHEODB，EF平分OEH，OEFHEF.EFOEFH90，EFEF，EFOEFH（ASA），EOEH，FOFH，EHOEOHOBDODB，EOHOBD（AAS），BDOH2OF23（2020湖州）已知在ABC中，ACBCm，D是AB边上的一点，将B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E（1）特例感知 如图1，若C60，D是AB的中点，求证：AP=12AC；（2）变式求异 如图2，若C90，m62，AD7，过点D作DHAC于点H，求DH和AP的长；（3）化归探究 如图3，若m10，AB12，且当ADa时，存