1 高高中中三三年级年级学情诊断考试学情诊断考试 数学数学试题试题参考参考答案答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B B C B C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 题号 9 10 11 12 答案 AC BD ABD ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 131 3 ； 144； 15(51)(0 3)，； 16 25 16 2 ，（本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 【解析】 在ABC中，由余弦定理可得： 222 2cosACABBCAB BCABC=+ 42522 5 cos12039 =+ =， 所以 39AC =； 在 ACD 中，由正弦定理可得： sinsin ACAD ADCACD = ， 即 sin2sin ACAD ACDACD = ， 所以 3913 2sincossinACDACDACD = ， 所以 3 cos 2 ACD=； 因为 (0 )ACD，所以 6 ACD=； 所以 32 ADCCAD=，； 所以 113 3 22 ACD SAC AD= 2 18 【解析】 （1）因为 2 n Sn= ，所以 2 1 (1)(2) n Snn = ， 所以 1 21 (2) nnn aSSnn = ， 当 1n = 时， 11 1aS=适合上式， 所以 21 n an= （2）若选： 因为 222 1 88 ()(21) (21) n nn nn b aann + = + 22 11 (21)(21)nn = + ， 所以 2222222 1111111 1 1335(21)(21)(21) n T nnn =+= + 若选： 因为 2(21) 2 nn nn ban= ， 所以 231 1 23252(23) 2(21) 2 nn n Tnn = + + + ， 则 234+1 21 23252(23) 2(21) 2 nn n Tnn= + + + ， 两式相减可得： 231 222222 2(21) 2 nn n Tn + =+ 2 1 82 2(21) 2 12 n n n + + =+ 1 6(23) 2nn + = ， 所以 1 6(23) 2n n Tn + =+ 若选： 2 ( 1)( 1) nn nn bSn= = ， 当n为偶数时， 222222222222 1234(1)(21 )(43 )(1) n Tnnnn= +=+ 3721n=+ (321) (1) 2 22 n n n n + + =； 当n为奇数时， 3 22 1 (1)(1) 22 nn n nn n TTnn + = ； 综上： (1) ( 1) 2 n n n n T + = 19 【解析】 （1）证明：因为 2ABACD=，是BC的中点， 所以 ADBC， 又因为 平面 11 BBC C 平面ABC， 且平面 11 BBC C平面ABCBC=，AD 平面ABC， 所以 AD 平面 11 BBC C， 而 AD平面 111 ABC，且AD 平面 1 ADC， 平面 1 ADC平面 111 ABCl=， 所以 ADl， 所以 l 平面 11 BB C C； （2） 【解法一】 因为 四边形 11 BBC C为菱形，且 1 60B BC =，连接 1 B D，则 1 B DBC， 又因为 平面 11 BBC C 平面ABC，平面 11 BBC C平面ABCBC=， 故 1 B D 平面ABC. 以D为坐标原点， 1 DC DA DB，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则 1 (0 0 0)(1 0 0)(03 0)(2 03)DCAC， ， ， ，. 所以 1 (233)(03 0)(13 0)ACDAAC=， ， 设平面 1 DAC的法向量 1111 ()xyz=， ，n， 则 11 1 0 0 AC DA = = n n ，即 111 1 2330 30 xyz y += = ， 令 1 3x =，则 1 2z = ，所以 1 ( 3 02)=，n； 设平面 1 CAC的法向量 2222 ()xyz=， ，n， y z x B1 D C1 AC A1 B 4 则 21 2 0 0 AC AC = = n n ，即 222 22 2330 30 xyz xy += = ， 令 2 3x =，则 22 11yz= ， 所以 2 ( 3 11)=，n； 所以 12 12 12 35 cos |7 =， nn nn nn ， 由图可知 所求二面角为锐角， 所以 二面角 1 DACC 的余弦值为 35 7 . （2） 【解法二】 因为 AD 平面 11 BBC C，AD 平面 1 ADC， 所以 平面 1 ADC 平面 11 BBC C， 在平面 11 BBC C内，过C作 1 CHDC于点H， 则 CH 平面 1 ADC 过C作 1 CGAC于点G，则G为线段 1 AC的中点； 连接HG，则 CGH即为二面角 1 DACC的平面角. 在直角 11 DBC中， 1111 237BCB DDC=， ； 在 1 DCC中， 21 7 CH = ，在 1 ACC中， 6 2 CG = ； 在直角 CGH 中， 210 14 GH = ， 所以 35 cos 7 GH CGH CG = ， 所以 二面角 1 DACC的余弦值为 35 7 . 20 【解析】 （1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是 1 2 ， 记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为 A 类”为事件A，则 413 4 11113 ()()() (1) 222216 P AC=+=； G B1 D C1 A C A1 B H 5 （2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为 B 类”为事件B， “如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为 C 类”为事件C，则 433 4 1115 ()(1)(1) 22216 P CC=+=， 1 ()1()() 2 P BP AP C= =， 所以 如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 315 200160120155 16216 +=元； 由题意可知，如果该农户采用方案二装箱， 则一箱红枣被定为 A 类的概率为 1 2 ，被定为 C 类的概率也为 1 2 ， 所以 如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 11 2001201159 22 + =元； 所以 该农户采用方案二装箱更合适 21 【解析】 （1）由题可知 2 6 3 22 3 3 c a b a = = ，又因为 222 abc=+， 所以 3a =，1b =， 所以 椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y+=； （2）因为 折线 |2 |(0)yk xk= 与椭圆C相交于A B，两点， 设点B关于x轴的对称点为 B 则 直线(2)(0)yk xk=与椭圆C相交于A B ，两点 设 1122 ()()A xyB xy，则 22 ()B xy， 由 2 2 1 3 (2) x y yk x += = 得 2222 (13)6 2630kxk xk+=， 所以 22 1212 22 6 263 1313 kk xxxx kk += + ， 6 所以 122112 21 122112 (2)(2) ()2 ()2 yyk xk xxx kkkk xxxxx x + = += += 3 2 12 22 63 k k k = ， 整理得 2 210kk =， 解得 1 2 k = 或1k = 22 【解析】 （1） 11 ( ) 11 axa fxa xx + = + ，其中1x ， 若0a，( )0fx，此时( )f x在( 1)+，上单调递减； 若0a ，由( )0fx得 1 1x a ， 此时( )f x在 1 ( 11) a ，上单调递减，在 1 (1) a +，上单调递增； 综上所述，0a，( )f x在( 1)+，上单调递减； 0a ，( )f x在 1 ( 11) a ，上单调递减，在 1 (1) a +，上单调递增. （2） 【解法一】 由题意 1 eln(1)0 1 x axx x + + 在(0)x+，恒成立， 记 1 ( )eln(1) 1 x g xaxx x =+ + ，(0)x+，其中(0)0g=； ( ) 2 11 e 1(1) x gxa xx =+ + ，其中(0)1ga=； 3 233 12(1)e(1) ( )e (1)(1)e (1) x x x xx gx xxx + =+= + ， 记( )h x = 3 (1)e(1) x xx+， 因为 ( )h x= 2 e3(1)0 x xx+，(0)x+， 所以 ( )h x在(0)+，上单调递增， 所以 ( )(0)0h xh=，所以 ( )0gx， 所以 ( )g x在(0)+，上单调递增； 若0a， 1 1 (1)eln20 2 ga =+，不合题意； 若01a， 因为 2 11 ( )ee 1(1) xx g xaa xx =+ + ， 所以 ln (ln )e0 a gaa =， 7 又因为 (0)10ga= ，( )g x在(0)+，上单调递增， 所以 当(0ln )xa，时，( )0g x， 所以 ( )g x在(0ln )a，上单调递减， 所以 当(0ln )xa，时，( )(0)0g xg=，不合题意； 若1a，因为 ( )g x在(0)+，上单调递增， 所以 ( )(0)10g xga=， 所以 ( )g x在(0)+，上单调递增， 所以 ( )(0)0g xg=，符合题意； 综上 实数a的取值范围是1)+， 【解法二】 因为 1e(1) e 1e (1) x x x x xx + = + ， 记( )e(1) x g xx=+，(0)x+，( )e10 x gx= ， 所以 ( )g x在(0)+，上单调递增，所以 ( )(0)0g xg=， 所以 1 e0 1 x x + 恒成立； 若0a，(1)ln20fa=，不合题意； 若01a，由（1）知，( )f x在 1 (01) a ，上单调递减， 所以 1 (1)(0)0ff a =，不合题意； 若1a，记 1 ( )eln(1) 1 x h xaxx x =+ + ，(0)x+， 1 ( )eln(1) 1 x h xxx x + + ， 记 1 ( )eln(1) 1 x xxx x =+ + ， 22 111111 ( )11 1(1)e1(1)1 x x xxxxx = + + + 22 22 (1)2(1)1 0 (1)(1) xxx xx + = + ， 所以 ( )x在(0)+，上单调递增，所以 ( )(0)0 x=， 所以 ( )0h x ，符合题意； 综上 实数a的取值范围是1)+，