第一章第一章 三角函数三角函数 章末复习课 网络构建 核心归纳 1三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容： （1）理解任意角的概念和弧度的意义，能 正确迅速地进行弧度与角度的换算 （2）掌握任意的角的正弦、余弦和正切的定义，能 正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题， 能求三角函数的定义域和一些简单三角函 数的值域 2诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变， 符号看象限”牢记所有诱导公式 善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用， 通过这些公式进行化简、 求值， 达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的 3三角函数的图像与性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图像 定义域 R R R R k 2 ， k 2 (kZ Z) 值域 1,1 1,1 (，) 续表 最值 x2k 2 (kZ Z) 时，ymax1；x2k 2 (kZ Z)时，ymin 1 x2k(kZ Z)时， ymax1；x2k (kZ Z)时，ymin 1 无最大值、最小值 周期性 周期T2k(kZ Z) 周期T2k(kZ Z) 周期Tk(kZ Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2k 2 ，2k 2 (kZ Z)上是增函数； 在 2k 2 ，2k3 2 (kZ Z)上是减函数 在2k， 2k(kZ Z)上是增 函数；在2k，2k (kZ Z)上是减 函数 在区间(k 2 ，k 2 )(kZ Z)上是增 函数 对称性 轴对称图形，对称轴 方程是xk 2 ， kZ Z； 中心对称图形， 对称中心(k，0)(k Z Z) 轴对称图形，对称轴 方程是xk，kZ Z； 中心对称图形，对称 中心 k 2 ，0 (k Z Z) 中心对称图形，对称 中心 k 2 ，0 (kZ Z) 4.三角函数的图像与性质的应用 (1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息， 如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称 中心之间位置关系等能从三角函数的图像归纳出函数的性质 (2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性在运用三角函 数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试 题完整准确地进行解答 要点一 任意角的三角函数的定义 有关三角函数的概念主要有以下两个方面： (1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算 (2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三 角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域 【例 1】 已知 cos m，|m|1，求 sin ，tan 的值 解 (1)当m0 时，2k 2 ，kZ Z； 当2k 2 时，sin 1，tan 不存在； 当2k 2 时，sin 1，tan 不存在 (2)当m1 时，2k，kZ Z，sin tan 0. 当m1 时，2k，kZ Z，sin tan 0. (3)当在第一、二象限时， sin 1m 2，tan 1m 2 m . (4)当在第三、四象限时， sin 1m 2，tan 1m 2 m . 【训练 1】 已知角的终边经过点P( 3，m) (m0)且 sin 2 4 m，试判断角所 在的象限，并求 cos 和 tan 的值 解 由题意，得r 3m 2， 所以 sin m 3m 2 2 4 m. 因为m0，所以m 5，故角是第二或第三象限角 当m 5时，r2 2，点P的坐标为( 3， 5)，角是第二象限角， 所以 cos x r 3 2 2 6 4 ， tan y x 5 3 15 3 ； 当m 5时，r2 2，点P的坐标为( 3， 5)，角是第三象限角，所以 cos x r 3 2 2 6 4 ， tan y x 5 3 15 3 . 要点二 诱导公式的应用 (1)对于 ，2记忆为“函数名不变，符号看象限” (2)对于 2 记忆为“函数名改变，符号看象限” 注意： 名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化 “符号看象限”是指把看作锐角时原函数值的符号 其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角” 【例 2】 (1)若 2 ， (注：对任意角有 sin 2cos21 成立)，则 12sinsin 3 2 ( ) Asin cos Bcos sin C(sin cos ) Dsin cos (2)已知f(x)asin(x)bcos(x)，其中， a，b均为非零实数，若 f(2 016)1，则f(2 017)等于_ 解析 (1)12sinsin 3 2 12sin cos |sin cos |，又 2 ， ， sin cos 0， 故原式sin cos . (2)由诱导公式知f(2 016)asin bcos 1， f(2 017)asin()bcos() (asin bcos )1. 答案 (1)A (2)1 【训练 2】 已知角的终边经过点P 4 5， 3 5 . (1)求 sin 的值； (2)求 sin 2 sin tan cos3的值 解 (1)|OP|1， 点P在单位圆上 由正弦函数的定义得 sin 3 5. (2)原式 cos sin tan cos sin sin cos 1 cos ， 由余弦函数的定义得 cos 4 5.故所求式子的值为 5 4. 要点三 三角函数的图像及变换 1用“五点法”作yAsin(x)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令x 0， 2 ，3 2，2. 2对于yAsin(x)h，应明确A、决定“变形”，、h决定“位变”，A影响 值域，影响周期，A、影响单调性针对x的变换，即变换多少个单位，向左或向 右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别 【例 3】 函数f(x)Asin(x) A0，0，| 2 的一段图像如图 (1)求f(x)的解析式； (2)把f(x)的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？ 解 (1)A3，2 4 3 4 4 5， 故2 5. 由f(x)3sin 2 5x 过 4 ，0 得 sin 10 0. 又| 2 ，故 10， 故f(x)3sin 2 5x 10 . (2)由f(xm)3sin 2 5xm 10 3sin 2 5x 2 5m 10 为偶函数(m0)， 知 2m 5 10k 2 (kZ Z)，即m5 2k 3 2 (kZ Z) m0，mmin3 2 . 故至少把f(x)的图像向左平移 3 2 个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数 【训练 3】 已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为( ) Af(x)2sin x 2 6 Bf(x) 2cos 4x 4 Cf(x)2cos x 2 3 Df(x)2sin 4x 6 解析 由图像知周期T4，则1 2，排除 B、D；由 f(0)1，可排除 A. 答案 C 要点四 三角函数的性质 三角函数的性质，重点应掌握ysin x，ycos x，ytan x的定义域、值域、单调性、 奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数yAsin(x)，yAcos(x) 及yAtan(x)的相关性质在研究其相关性质时，将x看成一个整体，利用 整体代换思想解题是常见的技巧 【例 4】f(x)是定义在 R R 上的偶函数，对任意实数x满足f(x2)f(x)，且f(x)在 3，2上单调递减，而，是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin )f(cos ) 证明 f(x2)f(x)， yf(x)的周期为 2. f(x)在1,0与3，2上的单调性相同 f(x)在1,0上单调递减 f(x)是偶函数， f(x)在0,1上的单调性与1,0上的单调性相反 f(x)在0,1上单调递增 ，是锐角三角形的两个内角， 2 ， 2 ，且 0， 2 ， 2 0， 2 . 又ysin x在 0， 2 上单调递增， sin sin 2 cos ，即 sin cos . 由，得f(sin )f(cos ) 【训练 4】 已知a0，函数f(x)2asin(2x 6 )2ab，当x 0， 2 时， 5f(x)1. (1)求常数a，b的值； (2)设g(x)f x 2 且 lg g(x)0，求g(x)的单调区间 解 (1)x 0， 2 ，2x 6 6 ，7 6 . sin 2x 6 1 2，1 ， 2asin 2x 6 2a，a f(x)b,3ab， 又5f(x)1， b5,3ab1， 因此a2，b5. (2)由(1)得a2，b5， f(x)4sin 2x 6 1， g(x)f x 2 4sin 2x7 6 1 4sin 2x 6 1， 又由 lg g(x)0 得g(x)1， 4sin 2x 6 11， sin 2x 6 1 2， 2k 6 2x 6 2k5 6 ，kZ Z， 其中当 2k 6 2x 6 2k 2 ，kZ Z 时，g(x)单调递增，即kxk 6 ，k Z Z， g(x)的单调增区间为 k，k 6 ，kZ Z. 又当 2k 2 2x 6 2k5 6 ，kZ Z 时，g(x)单调递减，即k 6 xk 3 ，kZ Z. g(x)的单调减区间为 k 6 ，k 3 ，kZ Z. 要点五 三角函数的综合应用 (1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们 的相互制约关系，准确地进行等价转化； (2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义 域的要求一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法； (3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行； (4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法， 在证明有关函数的周期性问题时， 也常用周期函数的定义来处理 【例 5】 已知函数f(x)log1 2 2sin x 4 . (1)求它的定义域和值域、单调区间； (2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期 解 令u(x) 2sin x 4 . f(x)log1 2 2sin x 4 1 2log 1 2sin x 4 . (1)要使f(x)有意义，则 sin x 4 0，所以 2kx 4 (2k1)(kZ Z)，即x 2k 4 ，2k5 4 (kZ Z) 因为 0sin x 4 1，所以 0 2sin x 4 2， 所以f(x)log1 2u(x) 1 2. 所以f(x)的值域为 1 2， . x 4 2k，2k 2 时，u(x)是增函数，所以f(x)log1 2u(x)是减函数 所以x 2k 4 ，2k3 4 时，函数是减函数 同理可求得x 2k3 4 ，2k5 4 (kZ Z)时，函数是增函数 (2)因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数 又f(x2)1 2log 1 2sin x2 4 1 2log 1 2sin x 4 f(x)， 其中x 2k 4 ，2k5 4 (kZ Z)，所以f(x)是周期函数，且最小正周期是 2. 【训练 5】 函数f(x)cos x2|cos x|在0,2上与直线ym有且仅有 2 个交点，求 m的取值范围 解 f(x) 3cos x，x 0， 2 3 2，2 ， cos x，x 2 ，3 2 ， 如图： 由图可知：当m0 或 1m3 时，直线ym与f(x)的图像有且仅有 2 个交点. 基础过关 1sin(60)的值是( ) A1 2 B. 1 2 C 3 2 D. 3 2 解析 sin(60)sin 60 3 2 . 答案 C 2已知角是第二象限角，角的终边经过点P(x,4)，且 cos x 5，则 tan ( ) A.4 3 B. 3 4 C3 4 D4 3 解析 是第二象限角，且终边经过点P(x,4) x0. cos x x 242 x 5，x3.则 P(3,4) tan 4 3 4 3. 答案 D 3已知