匠心文档，专属精品。 匠心教育文档系列1 2.1.1 参数方程的概念 ?预习梳理 1参数方程的定义 一般地， 在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个 变量t的函数： _；反过来，对于t的每个允许值，由函数式 xf（t）， yg（t） 所 确定的点P(x，y)_ ，那么方程 xf（t）， yg（t） 叫作曲线C的_，变 量t是参变数， 简称参数 相对于参数方程而言，直接给出 _的方程叫做 普通方程，参数方程可以转化为普通方程 2关于参数的说明 参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义 3曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数 t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的 xf（t）， yg（t） 就是 参数方程 ?预习思考 以下表示x轴的参数方程的是( ) A. xt 21， y0 (t为参数 ) B. x0， y3t1 (t为参数 ) C. x1sin ， y0 (为参数 ) D. x4t1， y0 (t为参数 ) ,预习梳理 1. xf（t）， yg（t） 都在曲线C上参数方程点的坐标间关系 预习思考 D 一层练习 1当参数变化时，由点P(2cos ，3sin ) 所确定的曲线过点( ) 匠心文档，专属精品。 匠心教育文档系列2 A(2， 3) B(1 ，5) C. 0， 2 D (2，0) 1D 2将参数方程 x2sin 2， ysin 2 (为参数 ) 化为普通方程是( ) Ayx2 Byx2 Cyx2(2x3) Dyx2(0y1) 2.C 3在方程 xsin 2， ycos 2( 为参数 ) 所表示的曲线上其中一个点的坐标是( ) A(2， 7) B. 1 3， 2 3 C. 1 2， 1 2 D (1， 1) 3.D 4将参数方程 x12cos ， y2sin (为参数 ) 化为普通方程是_. 4(x 1) 2 y 24 5曲线 x1 cos ， y2sin (为参数 ) 经过点 3 2， a，则a_. 53 二层练习 6若一直线的参数方程为 xx0 1 2t ， yy0 3 2 t (t为参数 )，则此直线的倾斜角为( ) A60 B 120 C 30 D 150 匠心文档，专属精品。 匠心教育文档系列3 6B 7参数方程 xcos 2， ysin 2 (为参数 ) 表示的曲线是( ) A直线 B 圆 C 线段 D 射线 7.C 8(2015湛江市高三( 上) 调考 )直线 x2 1 2t ， y 11 2t (t为参数 ) 被圆x 2y24 截得的弦 长为 _ 8命题立意： 本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，考查 计算能力，属于基础题 解析： 直线 x21 2t ， y 1 1 2t (t为参数 ) ， 直线的普通方程为xy 10， 圆心到直线的距离为d 1 2 2 2 ， 弦长 24 2 2 2 14. 答案：14 9(2015惠州市高三第一次调研考试) 已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程 为： x3 3cos ， y13sin (为参数 ) ，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为： cos 6 0，则圆C截直线所得弦长为_ 9解析： 圆C x33cos y1 3sin (为参数 ) 表示的曲线是以点(3，1) 为圆心， 以 3 为 半径的圆，将直线cos 6 0 的方程化为3xy0，圆心 (3，1)到直线3xy 0 的距离d |331| （3） 12 1，故圆C截直线所得弦长为23 2124 2. 匠心文档，专属精品。 匠心教育文档系列4 答案： 42 10圆锥曲线 xt 2， y2t (t为参数 )的焦点坐标是_ 10(1，0) 三层练习 11在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极 坐标方程为cos 4 的直线与曲线 xt 2， yt 3 (t为参数 ) 相交于A，B两点，则 |AB| _ 1116 12设曲线C的参数方程为 xt， yt 2 (t为参数 ) ，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的 正半轴为极轴建立即坐标系，则曲线C的极坐标方程为_ 12cos 2sin 0 13已知动点P，Q都在曲线C： x2cos ， y2sin (为参数 ) 上，对应参数分别为 与2(0 2 ) ，M为PQ的中点 (1) 求M的轨迹的参数方程； (2) 将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点 13解析： (1) 依题意有P(2cos ，2sin ) ，Q(2cos 2，2sin 2) ，因此M(cos cos 2，sin sin 2) M的轨迹的参数方程为 xcos cos 2， ysin sin 2 (为参数， 02) (2)M点到坐标原点的距离 dx 2 y 2 22cos (0 2) 当时，d0，故M的轨迹过坐标原点 14边长为a的等边三角形ABC的两个端点A、B分别在x轴、y轴两正半轴上移动， 顶点C和原点O分别在AB两侧，记CAx，求顶点C的轨迹的参数方程 匠心文档，专属精品。 匠心教育文档系列5 14解析：如下图，过点C作CDx轴于点D，设点C的坐标为 (x，y) 则由 xOAAD， yDC， 得 xacos 2 3 acos ， yasin (为参数 ) ， 即为顶点C的轨迹方程 1求曲线参数方程的主要步骤 第一步设点：画出轨迹草图设M(x，y) 为轨迹上任意一点的坐标，画图时注意根据 几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系 第二步选参： 选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐 标(x，y) 与参数的关系比较明显，容易列出方程二是x，y的值可以由参数唯一确定例 如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此 外，离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数 第三步表示、结论：根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的 坐标与参数的函数关系式证明可以省略 2将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方法 (1) 代入法先由一个方程求出参数的表达式( 用直角坐标变量表示) ，再代入另一个方 程 (2)利 用 代 数 或 三 角 函 数 中 的 恒 等 式 消 去 参 数 ， 例 如 对 于 参 数 方 程 xat 1 t cos ， y a t 1 t sin ， 如果t是常数，是参数，那么可以利用公式sin 2cos 21 消参；如果是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(mn) 2( mn) 24mn消参 匠心文档，专属精品。 匠心教育文档系列6 高中数学 1.2 极点坐标练习新人教 A版选修 4-4 ?预习梳理 1极坐标系的建立 在 平 面 上 取 一 个 定 点O， 自 点O引 一 条 射 线Ox， 同 时 确 定 _ 和 _( 通常取逆时针方向为正方向) ，这样就建立了一个极坐标系( 其中 O称为极点，射线Ox称为极轴 ) 设M为平面内一点，极点O与点M的距离 |OM| 叫作点M的 _，记为；以极轴 Ox为始边， 射线OM为终边的角xOM叫作点M的_，记为，有序实数对 _叫 作点M的极坐标，记作_，一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意 实数 2直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平 面内的任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x，y) 和(，) ，则 x， y 或 2 ， tan （x0） . ?预习思考 1写出下图中各点的极坐标： 匠心文档，专属精品。 匠心教育文档系列7 A_，B_，C_ 2已知点M的极坐标为5， 3 ，则它化成直角坐标为_, 预习梳理 1一个长度单位一个角度单位及其正方向极径极角(，) M(，) 2cos sin x 2 y 2 y x 预习思考 1(4， 0) 2， 4 3， 2 2. 5 2， 53 2 一层练习 1极坐标系中，和点3， 6 表示同一点的是_ 1. 3， 11 6 2极坐标系中，与点3， 3 关于极轴所在直线对称的点的极坐标是_ 2. 3， 3 3在极坐标中，若等边ABC的两个顶点是A2， 4 、B2，5 4 ，那么顶点C的坐标 可能是 _ 匠心文档，专属精品。 匠心教育文档系列8 3. 23， 3 4 4在极坐标系中，已知M12，7 4 ，M2 2， 4 ，则 |M1M2| _ 42 5以极点为原点，极轴的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标 M2 014 ， 5 3 表示的点在第_象限 二层练习 5解析： 由于xcos 2014cos 5 3 1007， ysin 2014sin 5 3 10073， 故点 (1007 ， 10073) 在第四象限 答案： 四 6 已知A、B两点极坐标为A4， 3 ，B6， 2 3 ， 则线段AB中点的极坐标为_ 6. 1， 2 3 7在极坐标系中，已知A2， 6 ，B4， 3 ，则AOB的面积S_ 72 8极坐标系中，点A的极坐标是3， 6 ( 规定0，0 ，2) ，则： (1) 点A关于极轴对称的点的极坐标是_； (2) 点A关于极点对称的点的极坐标是_； (3) 点A关于直线 2 的对称点的极坐标是_ 8(1)3， 11 6 (2)3，7 6 (3)3， 5 6 9已知圆C：(x1) 2( y3) 21，则圆心 C的极坐标为 _(0，0 2) 9. 2，2 3 10将下列各点的直角坐标化为极坐标(0，00) ，当线段 AB最短时，点B的极坐标为 _ 12. 1， 11 6 2k (kZ) 13以直角坐标系Oxy的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(， )(0 0) ， 则它的参数方程为 x a cos ， yatan (为参数 ) ，设M a cos ， atan 是双曲线上任意一点，则点M到两渐近线yx及y x的距离之积是 a cos atan 1 212 a cos atan 1 2 12 | a 2 cos 2 a 2tan | 2 a 2 2 ( 常 数) 4证明： 设点A，B的坐标分别为 (2pt 2 1，2pt1) ，(2pt 2 2，2pt2) ，则点C的坐标为 (2pt 2 2， 2pt2) 直线AB的方程为y2pt1 1 t1t2( x2pt 2 1) ，所以点D的坐标为 (2pt1t2，0)直 线AC的方程为y2pt1 1 t1t2 (x2pt 2 1) ，所以E的坐标为 (2pt1t2，0) 因为DE的中点为 原点O(0 ，0) ，所以抛物线的顶点O平分线段DE. 5解析： 直线OA的方程为ykx，直线OB的方程为y 1 kx. 解方程组 ykx， y 22px得点 A的坐标是 2p k 2， 2p k ；解方程组 y 1 kx， y 22px 得点B的坐标是 (2pk 2，2pk) 设点 M的坐标为 (x，y) ，则x 2p k 22pk 2 2 p k 2pk 2， y 2p k 2pk 2 p k pk，所以线段AB的中点M的轨迹的参 数方程是 x p k 2pk 2， y p k pk (k为参数 ) 高中数学 1.1平面直角坐标系练习新人教 A版选修 4-4 ?预习梳理 1平面直角坐标系 在平面上， 当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的 方向， 就建立了 _ 它使平面上任一点P都可以由 _实数对 (x，y)确定 2坐标法 根据几何对象的特征，选取适当的 _，建立它的方程， 通过方程研究它的性质及 匠心文档，专属精品。 匠心教育文档系列34 与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的_ 3伸缩变换 设P(x，y) 是平面直角坐标系中任意一点，在变换： xx，0， yy，0 的作用下， 点P(x，y) 对应点P(x，y) ，称为平面直角坐标系中的_，简称伸 缩变换 ?预习思考 1到直角坐标系两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是_ 2将点 (2 ，3)变成点 (3，2)