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2 0 1 6年 暑 假 五 年 级 奥 数第 三 讲 ( 教 师版 ) 长方体与正方体涂色与三视图 一、表面涂色问题: 对于棱长大于2 的长方体和正方体,表面涂色后切成小正方体: 三面涂红色的在顶点处 两面涂红色的在棱长处 一面涂红的表面中间部分 每面都没涂色的只有正方体体内。 三视图:是指观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间 几何体而画出的图形 【例 1】右图是 333正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多 少块? 【解析】三面涂红色的只有8 个顶点处的8 个立方体; 两面涂红色的在棱长处,共(32)4(32)4(32)412块;【答案】 8, 12 【巩固】右图是456正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多 少块? 【解析】三面涂红色的只有8 个顶点处的8 个立方体; 两面涂红色的在棱长处,共(42)4(52)4(62)436块;【答案】 8, 36 【例 2】右图是333正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各 有多少块? 一面涂红的表面中间部分:(32)(32)2(32)(32)2(32)(32)26块 六面都没涂色的只有正方体内的小方块:(32)(32 (32)1块【答案】 6, 1 【巩固】右图是 456正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体 各有多少块? 【解析】一面涂红的表面中间部分:(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252块 六面都没涂色的只有正方体内的小方块:(42)(52)(62)1块 【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1 厘米的小正方体,其中一面都没有红色的小 正方形 只有 3 个,求原来长方体的表面积是多少平方厘米? 【解析】长:3115 厘米;宽: 1113 厘米;高: 1113 厘米; 所以原长方体的表面积是:(353533)3278 平方厘米【答案】 78 【巩固】一个长方体,六个面均涂有红色,沿着长边等距离切5 刀,沿着宽边等距离切4 刀,沿着高边等距离 切_次后,要使各面上均没有红色的小方块为24 块 【解析】沿着长边等距离切5 刀,可切为516块;沿着宽边等距离切4 刀,可切为415块;沿着高边 等距离 切n刀,可切为1n块由题意可知,长方体每一个面的外层是涂有1面(或 2 面、或 3 面)的小方块,所以, 各面均没有红色的小方块共(62)(52)(12)12(1)nn个,因各面均没有红色的小方块为24 块,所 以,12(1)24n,解得 3n 【答案】 3 【例 4】右图是1 1 5长方体,如果将其表面涂成红色,再切成 5 个小正方体,那么各个正方体有几面被涂 成红色? 【解析】两端的正方体有5 面,中间的正方体有4 面; 【答案】两端的正方体有5 面,中间的正方体有4 面; 【巩固】右图是225长方体,如果将其表面涂成红色,再切成20 个小正方体,共有几种不同的涂色情况? 【解析】共有两种不同的染色情况:顶角上的8 个正方体有3 面,棱上的12 个正方体有2 面; 【解析】共有两种不同的染色情况:顶角上的8 个正方体有3 面,棱上的12 个正方体有2 面 【例 5】右图是125长方体,如果将其表面涂成红色,再切成10 个小正方体,共有几种不同的涂色情 况? 【解析】共有两种不同的染色情况:两端的4 个正方体有4 面,中间的6 个正方体有3 面; 【解析】共有两种不同的染色情况:两端的4 个正方体有4 面,中间的6 个正方体有3 面; 【巩固】将长为 5,宽为 3,高为 1 的长方体木块的表面涂上漆,再切成15 块棱长为1 的小正方体。则三个面 涂漆的小正方体有_块。 【解析】因为只有 1 层,故有三个面涂漆的小正方体位于棱上,共有8 块。【答案】 8 块 【例 6】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体(如图2)。从上体上面看这个立方体,看到的图形是图 中的。(填序号) 2007 年,第五届希望杯,5 年级初赛,第9 题, 6 分【答案】 【巩固】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体(如图2)。从右侧面看这个立方体,看到的图形是 图。 A B C D 【答案】 B 【例 7】用一些棱长是1 的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从正面、上面和右面看到的图形 正视图上视图右视图 【巩固】用一些棱长是1 的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从上面和正面看到的图形 【解析】如下: 【例 8】用一些棱长是1 的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如下图a,从正面看这个立体, 如下 图 b,则这个形体最多由_个小正方体构成。 【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数: 可知,最多由13 块正方体构成【答案】 13 【巩固】用一些棱长是1 的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如下图a,从正面看这个立体, 如下图 b,则这个形体最少由_ 个小正方体构成。 【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数: 可知,最少由11 块正方体构成【答案】 11 【例 9】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左下图,从侧面看如右下图,那 么他最 多用了 _块木块 . 【解析】从上往下看,分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。【答案】最多25 【巩固】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左下图,从侧面看如右下图,那么 他最少用了 _块木块。解析: 从上往下看,分别如左下图和右下图(图中数字为每一格的木块数)。 【答案】 最少 9 【例 10】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如图1 所示,从上面看 如图 2,那么这个几何体至少用了块木块 图1图2 【解析】这道题很多同学认为答案是26 块这是受思维定势的影响,认为图 2 中每一格都要至少放一块其实, 有些 格不放 ,看起来也是这样的如下图,带阴影的3 块不放时,小正方体块数最少,为23 块【答案】 23 块 【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如图2 所示,从上面看如 图 3 所示,那么这个几何体至少用了块木块 【解析】这道题很多同学认为答案是32 块这是受思维定势的影响,认为图2 中每一格都要至少放一块其 实, 有些格不放,看起来也是这样的如图5,带阴影的5 块不放时,小正方体块数最少,为27 块【答案】27 块 课堂检测 1一个长方体,六个面均涂有红色,沿着长边等距离切5 刀,沿着宽边等距离切3 刀,沿着高边等距离切 _ 次后,要使各面上均没有红色的小方块为40 块 【解析】沿着长边等距离切5 刀,可切为 516块;沿着宽边等距离切 3 刀,可切为 314块;沿着高边 等距离 切n刀,可切为1n块由题意可知,长方体每一个面的外层是涂有1面(或 2 面、或 3 面)的小方块,所以, 各面均没有红色的小方块共(62)(42)(12)8(1)nn个,因各面均没有红色的小方块为40 块,所 以,8(1)40n,解得 6n 【答案】 6 2.将 8 个相同的小正方体拼成一个体积为8 立方厘米的长方体,表面涂上漆,然后分开,则3 个面涂漆的小 正方 体最多有 _ 个,最少有 _个。 【解析】有下列组合: 8 1 1, 4 2 1, 2 2 2 的情况,对于8 1 1,两端的小正方体各有5 个面涂漆,它们 之间 的小正方体各有4 个面涂漆,没有3 个面涂漆的。对于4 2 1 的情况,四个角上的小正方体各有4 个面涂漆, 它们之间夹着的4 个小正方体各有3 个面涂漆。对于2 2 2 的情况,8 个小正方体各有3 个面涂漆,所以, 最多有 8 个,最少有0 个。【答案】最多有8 个,最少有0 个 3.用一些棱长是1 的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从正面、上面和右面看到的图形。 【答案】上视图右视图正视图 4.用一些棱长是1 的小正方体码放成一个立体,从上、从右看这个立体都如下图,则这个形体最多由 _个 小正方体构成。 【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数:可知,最多由21 块正方体构成【答案】 21 家庭作业: 1右图是6 10 12块小长方体堆叠而成,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面、三面被涂成红色 的小长 方体各有多少块? 【解析】三面涂红色的只有8 个顶点处的8 个长方体; 两面涂红色的在棱长处,共(62)4(102)4(122)488块; 一面 涂红的表面中间部分:(62)(102)2(62)(122)2(102)(122)2304 块 2.一个长方体的长是12 厘米,宽8 厘米,高也是整厘米数,在它的表面涂满颜色后,截成棱长是1 厘米的 小正 方体,其中一面有色的小正方体有280 个求原来长方体的体积。 【解析】先求出长方体的高,再求其体积和表面积设长方体的高为h厘米,则按题意截成的一面有色的小 正方体 有8212228222212225632hhh个,因为一面有色的小正方体有 280 个,所以,5632280h,解得7h所以,长方体的体积为12 87672立方厘米【 答案】 672 立方厘米 3.将长为 6,宽为 5,高为 1 的长方体木块的表面涂上漆,再切成15 块棱长为 1 的小正方体。则三个面涂漆 的小 正方体有 _块。【答案】 14 块 【解析】因为只有 1 层,故有三个面涂漆的小正方体位于棱上,共有(62)2(52)214块。 4.用一些棱长是1 的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从正面、上面和右面看到的图形 上视图右视图正视图 5.用一些棱长是1 的小正方体码放成一个立体,从上、从右看这个立体都如下图,则这个形体最少由 _个小正方体构成, 【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数:可知,最少由16 块正方体构成【答案】 16 6.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如图2 所示,从上面看如图3 所示,那么这个几何体至少用了块木块 【解析】这道题很多同学认为答案是35 块这是受思维定势的影响,认为图2 中每一格都要至少放一块其 实, 有些格不放,看起来也是这样的如图5,带阴影的5 块不放时,小正方体块数最少,为30 块【答案】30 块
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