初中几何证明题 经 典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB ，EGCO 求证： CDGF （初二） .如下图做 GHAB, 连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG, 即 GHF OGE,可得 EO GF = GO GH = CO CD ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点， PAD PDA 150 求证： PBC 是正三角形 （初二） .如下图做 GHAB, 连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG, 即 GHF OGE,可得 EO GF = GO GH = CO CD ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。 .如下图做 GHAB, 连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG, 即 GHF OGE,可得 EO GF = GO GH = CO CD ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。 3、如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、 D2分别是 AA1、BB1、 CC1、DD1的中点 求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中， AD BC，M、N 分别是 AB 、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交MN 于 E、F 求证： DEN F 经 典题（二） 1、已知： ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OMBC 于 M （ 1）求证： AH 2OM； （ 2）若 BAC 600，求证： AH AO （初二） 2、设 MN 是圆 O 外一直线，过O 作 OA MN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q A P C D B D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B A D H E M C B O G O E C A F G C E B O D P C G F B Q A D E 求证： APAQ （初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设 MN 是圆 O 的弦，过MN 的中点 A 任作两弦BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q 求证： APAQ （初二） 4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在 ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG，点 P是 EF 的中点 求证：点P 到边 AB 的距离等于AB 的一半（初二） 经 典题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，AEAC ，AE 与 CD 相交于 F 求证： CECF （初二） 2、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于F 求证： AEAF （初二） 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PFAP，CF 平分 DCE 求证： PAPF （初二） 4、如图， PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE 、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证： AB DC，BC AD （初三） 经 典题（四） 1、已知： ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5 求： APB 的度数（初二） 2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB （初二） 3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDAD BC ACBD （初三） 4、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且 AECF求证： DPA DPC （初二） 经典难题（五） 1、 设 P 是边长为1 的正 ABC 内任一点， LPAPBPC， O Q P B D E C N M A D A F D E C B E D A C B F F E P C B A O D B F A E C P A P C B P A D C B C B D A F P D E C B A A P CB 求证： L2 2、已知： P 是边长为1 的正方形ABCD 内的一点，求PAPBPC 的最小值 3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长 4、如图， ABC 中， ABC ACB 800，D、E 分别是 AB、AC 上的点， DCA 300， EBA 200，求 BED 的度数 经 典题（一） 1.如下图做GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG, 即 GHF OGE,可得 EO GF = GO GH = CO CD ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。 2. .如下图做GHAB, 连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG, 即 GHF OGE,可得 EO GF = GO GH = CO CD ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。 3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E. 连接 C2F与 A2E并延长相交于 Q点， 连接 EB2并延长交 C2Q于 H点，连接 FB2并延长交 A2Q于 G点， 由 A2E= 1 2 A1B1= 1 2 B1C1= FB2 ，EB2= 1 2AB= 1 2BC=FC 1 ，又GFQ+Q=900和 GEB2+Q=90 0,所以 GEB 2=GFQ 又 B2FC2= A2EB2 ， 可得 B2FC2 A2EB2 ，所以 A2B2=B2C2， 又 GFQ+HB2F=900和 GFQ=EB2A2 , 从而可得 A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。 4.如下图连接 AC并取其中点 Q ，连接 QN和 QM ，所以可得QMF= F， QNM= DEN 和 QMN= QNM ，从而得出DEN F。 经 典题（二） A C B P D E D CB A A C B P D 1.(1) 延长 AD到 F连 BF，做 OGAF, 又 F=ACB= BHD ， 可得 BH=BF, 从而可得HD=DF ， 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2) 连接 OB ，OC,既得BOC=120 0， 从而可得 BOM=60 0, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。 3. 作 OFCD ，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF， OG，AG ，OQ。 由于 2 2 ADACCDFDFD ABAEBEBGBG =， 由此可得 ADF ABG ，从而可得AFC= AGE 。 又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC= AOP 和 AGE= AOQ， AOP= AOQ，从而可得AP=AQ 。 4. 过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG ，CI，FH 。可得 PQ= 2 EGFH+ 。 由 EGA AIC ，可得 EG=AI ，由 BFH CBI，可得 FH=BI 。 从而可得PQ= 2 AIBI+ = 2 AB ，从而得证。 经 典题（三） 1. 顺时针旋转ADE ，到 ABG ，连接 CG. 由于ABG= ADE=90 0+450=1350 从而可得B，G，D 在一条直线上，可得AGB CGB 。 推出 AE=AG=AC=GC ，可得 AGC 为等边三角形。 AGB=30 0，既得 EAC=300，从而可得 A EC=75 0。 又 EFC= DFA=45 0+300=750. 可证： CE=CF。 2. 连接 BD作 CH DE，可得四边形CGDH 是正方形。 由 AC=CE=2GC=2CH ， 可得 CEH=30 0，所以 CAE= CEA= AED=150， 又 FAE=90 0+450+150=1500， 从而可知道F=150，从而得出AE=AF 。 3. 作 FGCD ，FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。 令 AB=Y ， BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。 tanBAP=tan EPF= X Y = Z YXZ-+ ，可得 YZ=XY-X 2+XZ ， 即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出 ABP PEF ， 得到 PA PF ，得证。 经典难题（四） 1. 顺时针旋转ABP 600，连接 PQ ，则 PBQ 是正三角形。 可得PQC 是直角三角形。 所以 APB=150 0 。 2. 作过 P点平行于 AD的直线，并选一点E，使 AE DC ，BE PC. 可以得出 ABP= ADP= AEP，可得： AEBP 共圆（一边所对两角相等）。 可得 BAP= BEP=BCP，得证。 3. 在 BD取一点 E，使 BCE= ACD ，既得 BEC ADC ，可得： BE BC = AD AC ，即 ADBC=BE AC ， 又 ACB= DCE，可得 ABC DEC ，既得 AB AC = DE DC ，即 ABCD=DEAC ， 由 +可得 : ABCD+ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。 4. 过 D作 AQ AE ， AGCF ，由 ADE SV= 2 ABCD SY = DFC SV ，可得： 2 AE PQg = 2 AE PQg ，由 AE=FC 。 可得 DQ=DG ，可得 DPA DPC（角平分线逆定理） 。 经 典题（五） 1. （1）顺时针旋转 BPC 60 0 ，可得 PBE 为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP，PE，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小L=； （2）过 P点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D，F。 由于APD ATP=ADP， 推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FC PC 又 DF=AF 由可得：最大L 2 ； 由（ 1）和（ 2）既得：L2 。 2. 顺时针旋转BPC 60 0 ，可得 PBE 为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP， PE，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF 。 既得 AF= 213 (1) 42 += 23+= 42 3 2 + = 2 ( 31) 2 + = 2 ( 31) 2 + = 62 2 + 。 3. 顺时针旋转ABP 900，可得如下图： 既得正方形边长L = 2222 (2)() 22 a+g= 52 2 a+g。 4. 在 AB上找一点 F，使BCF=60 0 ， 连接 EF， DG，既得 BGC 为等边三角形， 可得 DCF=10 0 , FCE=200 ,推出 ABE ACF ， 得到 BE=CF ， FG=GE 。 推出： FGE 为等边三角形，可得 AFE=80 0 ， 既得： DFG=40 0 又 BD=BC=BG ，既得 BGD=80 0 ，既得 DGF=40 0 推得： DF=DG ,得到： DFE DGE ， 从而推得：FED=BED=30 0 。