对面积的曲面积分(14),第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十章,对面积的曲面积分(14),一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,对面积的曲面积分(14),定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.,对面积的曲面积分(14),进一步可得与质量有关的下述公式:,的中心坐标,对z轴的转动惯量,对面积的曲面积分(14),则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,对面积的曲面积分(14),定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: 由定义知,对面积的曲面积分(14),而,(光滑),对面积的曲面积分(14),说明:,可有类似的公式.,1) 如果曲面方程为,2) 若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分. (见本节后面的例7),对面积的曲面积分(14),例1. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,对面积的曲面积分(14),思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,对称性算法:,关于xoy面对称,则,对面积的曲面积分(14),例2. 计算,其中 是由柱面,与平z=0及z=h(h0) 所围成的圆柱体的表面,并,解: 设,其中,做一个物理解释.,对面积的曲面积分(14),另解:,其中,对面积的曲面积分(14),对面积的曲面积分(14),错解:,原因:,圆周上的点与曲面上的点之间不是一一对应的.因此选,xoy面作为投影面是错误的.,物理解释:,面密度为1时曲面对oz轴的转动惯量.,对面积的曲面积分(14),例3. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若将曲面分为前后(或左右),则,解: 取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,对面积的曲面积分(14),例4. 求椭圆柱面,位于 xoy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S .,解:,取,对面积的曲面积分(14),例5. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解: 设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球坐标,对面积的曲面积分(14),例6.,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,对面积的曲面积分(14),思考1: 若例6 中被积函数改为,计算结果如何 ?,思考2: 例 6 是否可用球面坐标计算 ?,对面积的曲面积分(14),例7. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,轮换对称性,对面积的曲面积分(14),内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,对面积的曲面积分(14),练习. 设 是四面体,面, 计算,解: 在四面体的四个面上,同上,对面积的曲面积分(14),对面积的曲面积分(14),