对面积的曲面积分(37),第四节 对面积的曲面积分,对面积的曲面积分(37),2,第四节 对面积的曲面积分,求质量 m .,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,采用“分割, 近似, 求和, 取极限” 的方法，,可得,一. 对面积的曲面积分的概念与性质,对面积的曲面积分(37),3,定义:,设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一个,有界函数, 若对 做任意分割和局部区域上任意取点,“乘积和式极限”,都存在,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积的,曲面积分或第一类曲面积分.,记作,其中 f (x, y, z) 叫做被积函数, 叫做积分曲面.,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,对面积的曲面积分(37),4, 如果 f (x, y, z) 在光滑曲面 上连续, 则对面积的曲面,积分存在., 如果 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面,则有,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质.,（k 为常数),对面积的曲面积分(37),5,定理: 设光滑曲面 由方程 z = z (x, y), 在 xoy 面上的投影区域为,f (x, y, z) 在 上连续 ,存在, 且有,二. 对面积的曲面积分的计算法,给出 ,则曲面积分,证明: 由定义知,而,对面积的曲面积分(37),6,对面积的曲面积分(37),7,计算公式:,则,对面积的曲面积分(37),8,则,则,对面积的曲面积分(37),9,例1,解,对面积的曲面积分(37),10,对面积的曲面积分(37),11,解,依对称性知：,对面积的曲面积分(37),12,对面积的曲面积分(37),13,对面积的曲面积分(37),14,例3,对面积的曲面积分(37),15,解,对面积的曲面积分(37),16,（左右两片投影相同）,对面积的曲面积分(37),17,对面积的曲面积分(37),18,例4,解,对面积的曲面积分(37),19,对面积的曲面积分(37),20,例5. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,解:,将 分成 、,对面积的曲面积分(37),21,例5. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,另解: 取曲面面积元素,则,对面积的曲面积分(37),22,例6. 计算,其中 是球面,解: 利用对称性可知,球心：,半径：,对面积的曲面积分(37),23,四、小结,2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.,1、 对面积的曲面积分的概念;,（按照曲面的不同情况分为三种）,对面积的曲面积分(37),24,A组,对面积的曲面积分(37),