宁波市 2019 年高考模拟考试 数学试卷 说明:本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6 页,满分 150分，考试时间 120 分钟，请考生按规定用笔将所有试题的答案涂写在答题纸上。 参考公式 柱体的体积公式 : V=Sh， 其中 S 表示柱体的底而积， h 表示柱体的高 ; 锥体的体积公式 : V=- Sh,其中 s表示锥体的底面积 , h 表示锥体的高 ; 台体的体积公式 :v=(S1+ +S2)h.其中 S1, S 2:分别表示台体的上、下底面 积,h 表示台体的高 : 球的表面积公式 : S= 4rR3.球的体积公式 : v=，其中 R 表示球的半径 : 如果事件 A,B 互斥那么 P(+B)P(A)+P(B): 如果事件 A, B 相互独立，那么 P(A B)=P(A) P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p.那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好 发生 k 次的概率 Pn(k)=p k(1-p)n-k( k= 0,1,2,.n) 第卷(选择题部分，共40 分) 一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1已知集合Ax|0 x 7 ，B x|x 28x+70，则 AB（ ） A0，1 B7 C0，17 D1，7 2已知双曲线（b0）的渐近线方程为x y0，则 b（） A2BCD4 3已知复数z 满足 z（1+i） 1i（i 为虚数单位） ，则 z 的虚部为（） A iBiC1 D 1 4若直线l 不平行于平面 ，且 l? ，则（） A内的所有直线与l 异面 B 内只存在有限条直线与l 共面 C内存在唯一直线与l 平行 D内存在无数条直线与l 相交 5函数 f（x） xcos2 |x|的图象可能为（ ） AB CD 6宁波古圣王阳明的传习录 专门讲过易经八卦图，如图是易经八卦图（含乾、 坤、巽、 震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“ ” 表示一根阳线，“”表示一根阴 线） 从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（） ABCD 7如图所示，网格纸上小正方形的边长为1粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的 几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A64 B68 C80 D109 8已知集合M1 ，2，3n（nN*） ，若集合A a1，a2 ? M，且对任意的b M， 存在 ， 1，0，1 使得 b ai+ aj，其中 ai，ajA，1 i j2 ，则称集合A 为集合 M 的基底下列集合中能作为集合M 1，2， 3，4，5，6 的基底的是（） A1 ，5 B3 ，5 C2， 3 D2，4 9若x表示不超过x 的最大整数， 如2.32，4 4，2.3 3已知 an10 nb 1 a1，bnan10an1（n N*，n2 ） ，则 b2019等于（） A2 B5 C7 D8 10若关于x 的不等式（ ）有正实数解，则实数 的最小值为（） A9 B8 C7 D6 第 1I 卷(非选择题部分，共110 分) 二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分 11已知 log23a，则，函数 f（x） a 2x2ax 的递增区间为 12 已知 （1 ）（12x） 7 a0+a1x+a2x 2+a 7x 7， 则 a 2 ； a0+a1+ a7 13已知随机变量X 的分布列如表： X1 0 1 Pb 2 则 b；EX 14 已知函数f （x） 2sin （ x+ ）（ 0， | | ） 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 将 f （x） 的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象若函数g（x）为偶函数，则 的值为，此时函数f（x）在区间（ 0， ）上的值域是 15戊戌年结束，已亥年伊始小康，小梁，小课，小杨，小刘，小林六人分成四组，其中 两个组各2 人，另两个组各1 人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方 案有种（用数字作答） 16若变量x，y 满足： ，且满足（ t+1）x+（t1） y+t+10，则参数t 的 取值范围为 17已知向量 ，满足 | |1，| |2，|1，则 |的取值范围为 三、解答题：本大题共5 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（本题满分14 分） 在ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c， 且 （）求角 A 的大小； （）若 2sinAsinB1+cosC，BAC 的平分线与BC 交于点 D，与 ABC 的外接圆交于 点 E（异于点A） ， ，求 的值 19 （本题满分15 分）中国古代数学经典数书九章）中，将底面为矩形且有一条侧棱与 底面垂直的四棱锥称为“ 阳马 ” ，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“ 鳖臑 ” 在如 图所示的阳马PABCD 中， 底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD， PAAD2， AB， 以 C 的中点 O 为球心， AC 为直径的球面交PD 于 M（异于点D） ，交 PC 于 N （异于点C） （）证明： AM平面 PCD，判断四面体MCDA 是否为 “ 鳖臑 ” ，若是，写出它每个面 的直角（只需写出结论）：若不是，请说明理由： （）求直线ON 与平面 ACM 所成角的正弦值 20 （本题满分15 分）已知等差数列an的公差 d0 ，a125，且 a1，a11，a13成等比数列 （）求使不等式an0 成立的最大自然数n； （）记数列的前 n 项和为 Tn，求证： 21 （本题满分15 分）已知抛物线C1：y 22px（p0）上横坐标为 3 的点与抛物线焦点的 距离为 4 （）求 p 的值； （）设 P（ x0，y0） （0 x2 ）为抛物线C1上的动点，过P 作圆（ x+1）2+y21 的两条 切线分别与y 轴交于 A、B 两点求 |AB|的取值范围 22 （本题满分15 分）已知函数f（x）x+alnx （）若 f（x）在（ 0，+）上为单调函数，求实数a 的取值范围； （）若a，记 f（x）的两个极值点为x1，x2，记的最大值与最小 值分别为M，m，求 Mm 的值 一、 1. C 2. A 3.D 4. D 5. C 6.B 7.B 8.C 9. B 10. A 二、 11log23a， 3， 则2 a1，令 tax，则 t 为单调递增 f（x） a2x2ax， f（t） t22t， 根据复合函数的单调性质可知，要求函数f（x） a2x2ax的递增区间，只要求f（t） t 22t 单调递增区间， 根据二次函数的性质可知，所求区间为t（1，+ ） ， 即 x（0，+） ， 12由二项式（12x） 7 展开式的通项得Tr+1（ 2x） r， 则 a2（ 2） 2 （ 2） 3 196， 令 x1，则 1+a0+a1+ a7（ 1+1） （12）7 2， 所以 a0+a1+ a7 3， 13由分布列的性质可得：b 21，b（0， 1） ，解得 b ， 分布列为： X 1 0 1 P 所以 EX01 14 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ， T ，又 0， 2 将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数， 函数 g（x）为偶函数， （k Z） ， 又| |， f（x） 2sin（2x） x （0，） ，2x， ， f（x）（ 1，2） 15根据题意，分2 步进分析： ，将 6 人分成 4 组，其中两个组各2 人，另两个组各1 人，有 45 种情况， ，将分好的4 组全排列，对应四所不同的学校，有A4424 种情况， 则有 45 241080 种分配方案； 16作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由（ t+1）x+（t 1）y+t+10 得 t（x+y+1）+xy+10， 由，得，即（ t+1）x+（t1）y+t+10 过定点 M（ 1，0） ， 则由图象知A， B 两点在直线两侧和在直线上即可， 即2（t 1）+t+1 2（t+1）+3（t 1）+t+10 ， 即（ 3t1） （2t4）0 ， 解得 t2 ， 即实数 t 的取值范围为是， 17因为向量 ，满足 | |1，| |2，|1， 设（cos ，sin ） ，（2， 0） ，则（2+cos ，sin ） ， 所以（2+cos +cos ，sin +sin ） ， 所以（） 2（ 2+cos +cos ）2+（sin +sin ）2 6+2cos（ ）+4（cos +cos ） ， 因为 cos（ ） 1，1，cos 1，1， cos 1，1， 不妨取 0， 得 cos（ ） 1，cos 1，cos 1， 得 6+2cos（ ）+4（ cos +cos ） 16， 不妨取 ， 得 cos（ ） 1，cos 1，cos 1， 得 6+2cos（ ）+4（ cos +cos ） 0， 故 06+2cos （ ）+4（cos +cos ）16 ， 即 0 （） 2 16 ， 即 0| | 4 ， 三、 18 （） ， 由正弦定理可得： （c）c（ a+b） （ ab） ， 则： a2b2+c2 bc， 可得： cosA， 由 A（0， ） ，可得 A （）2sinAsinB1+cosC1cos（A+B） 1cosAcosB+sinAsinB， cos（ AB） 1，可得： AB， B， C， 不妨设 AC1，O 为ABC 外接圆的圆心， 则 AO1， AB，ADCEAO， 在ADC 中，由正弦定理，可得：，可得 AD 在AOE 中，由 OAE OEA，OA 1， 从而 AE， 所以 19证明：（ ）AC 是球的直径，则AMMC， 又 PA 平面 ABCD， CDPA， CDAD， CD平面 PCD， AMCD， 又 PA AD2，M 是 PD 中点， AMPD， AM平面 PCD， 根据证明可知四面体MCDA 是“ 鳖臑 ” ， 它的四个直角分别是AMC，AMD， ADC，MDC 解： （）由第一问可知AMPD，又 PAAD，则 M 是 PD 中点， AMMD，MC2， 取 MC 中点 E，则在直角 MCD 中，由 MD CD，得 DEMC， 又 AM平面 PCD，从而 AMDE，DE平面 MAC， D 点到平面AMC 的距离为 hDE1， 又 P 与 D 关于 M 对称， P 点到平面AMC 的距离为 1， 又 ANPC，RtPAC 中， 设 N 到平面 ACM 的距离为h，则，解得 h， 在直角 NAC 中， ON， 记 ON 与平面 AMC 所成角为 ，则 sin 直线 ON 与平面 ACM 所成角的正弦值为 20 （）解：由题意， ， 即 ，得 d（2a1+25d） 0 又 a125，d0 ， d 2，则 an 2n+27， 由 an0 ，得 2n+270 ，n 13.5 故满足题意的最大自然数为n 13； （）证明： ， 从而当 n12时，单调递增，且Tn0， 当 n13时，单调递增，且Tn0， T13 Tn T12 由，知不等式成立 21 （1）抛物线C1：y 22px（p 0）的焦点为（ ，0） ，准线方程为x， 横坐标为3 的点与抛物线焦点的距离为4，由抛物线的定义可得34， 可得 p2； （2）设 P（x0，y0） （0 x02 ）为抛物线C1上的动点，可得y024x0， 过 P 作圆（ x+1） 2+y21 的切线方程为 yy0 k（xx0） ， 由圆心（ 1，0）到切线的距离为半径1，可得 1，化为 k 2（ x 0 2+2x 0） 2ky0（ 1+x0）+y0 210， 由韦达定理可得k1+k2，k1k2， 由 yy0k（ xx0） ，可令 x0，可得 yy0kx0， 即有 |AB|y0k1x0y0+k2x0|k1 k2|x0 x0 x0， 可令 tx0+2（2t4 ） ，即 x0 t2，可得 |AB|2 2 2 ， 由，可得 |AB|（0， 2 22 （）函数 f（ x）x+alnxf（x）的定义域为（0，+） ， f （x）1+a 令 g（x） x2ax+1