1.2空间向量基本定理第1课时空间向量基本定理学习目标 1.掌握空间向量基本定理. 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解 .知识点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc.我们把a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量思考零向量能否作为基向量？答案不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面知识点二空间向量的正交分解1单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用i，j，k表示2向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得axiyjzk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解1只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底()2若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量()3如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线()4对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0xa1ya2za3.()一、空间的基底例1已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底解假设，共面则存在实数，使得，e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3，e1，e2，e3不共面，此方程组无解，不共面，可以作为空间的一个基底反思感悟基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断跟踪训练1(1)设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，b，c，z，x，y，abc，其中可以作为空间一个基底的向量组有()A1个 B2个C3个 D0个答案B解析因为xab，所以向量x，a，b共面如图，令a，b，c，则x，y，z，abc.可知向量b，c，z和x，y，abc不共面，故选B.(2)已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m与n共线，则xy_.答案0解析 因为m与n共线，所以xaybcz(abc)所以所以所以xy0.二、空间向量基本定理例2如图，在三棱柱ABC ABC中，已知a，b，c，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量，.解连接AN(图略)()()(abc)()()abc.延伸探究若把本例中“a”改为“a”，其他条件不变，则结果是什么？解因为M为BC的中点，N为BC的中点，所以()ab.()()()bac.反思感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3)下结论：利用空间的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量跟踪训练2如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，.解连接BO，则()()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.1下列结论错误的是()A三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C若a，b是两个不共线的向量，且cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底D若，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面答案C解析由基底的概念可知A，B，D正确，对于C，因为满足cab，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误2已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A3a，ab，a2b B2b，b2a，b2aCa，2b，bc Dc，ac，ac答案C解析对于A，有3a2(ab)a2b，则3a，ab，a2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面故选C.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是()A.， B.，C.， D.，答案C解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，只有C中的三个向量，不共面，可以作为空间的一个基底4正方体ABCDABCD中，O1，O2，O3分别是AC，AB，AD的中点，以，为基底，xyz，则()Axyz Bxyz1Cxyz Dxyz2答案B解析()()()，对比xyz，得xyz1.5在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.(用a，b，c表示)答案abc解析()()abc.1知识清单：(1)空间的基底(2)空间向量基本定理2方法归纳：转化化归3常见误区：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件(2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心1设p：a，b，c是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析当非零向量a，b，c不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底，当a，b，c为基底时，一定有a，b，c为非零向量因此pq，qp.2已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，成为空间的一个基底的是()A.B.C.D.2答案C解析对于选项A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面，知，共面；对于选项B，D，易知，共面，故选C.3.如图，梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间内任意一点，设a，b，c，则向量可用a，b，c表示为()Aab2cBab2cCabcD.abc答案D解析()abc.4已知a，b，c是空间的一个基底，若pab，qab，则()Aa，p，q是空间的一组基底Bb，p，q是空间的一组基底Cc，p，q是空间的一组基底Dp，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底答案C解析假设ck1pk2q，即ck1(ab)k2(ab)，得(k1k2)a(k1k2)bc0，这与a，b，c是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一组基底，故选C.5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M为A1C1的中点，若a，c，b，则下列向量与相等的是()AabcB.abcCabcD.abc答案A解析()()(ab)cabc.6在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则_.答案解析设AC的中点为F，则()(2)().7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，用，作为基向量，则_.答案()解析2222()()()，()8.如图所示，已知PA平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PAAD1，四边形ABCD为正方形，以，为基底，则_.答案解析()().9已知平行六面体OABCOABC，且a，b，c.(1)用a，b，c表示向量；(2)设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.解(1)bca.(2)()()(abcb)(abcc)(cb)10.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点(1)用基底a，b，c表示向量，；(2)化简，并在图中标出化简结果解(1)abc.abc.a(bc)abc.(2)().如图，连接DA1，则即为所求11点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，则满足xyz的实数x，y，z的值分别为()A， B.，C， D，答案D解析取PC的中点E，连接NE，则()()，比较知x，y ，z，故选D.12.如图，点M为OA的中点，为空间的一个基底，xyz，则有序实数组(x，y，z)_.答案解析，所以有序实数组(x，y，z).13已知四面体ABCD中，a2c，5a6b8c，AC，BD的中点分别为E，F，则_.(用a，b，c表示)答案3a3b5c解析如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则(5a6b8c)(a2c)3a3b5c.14如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG2GN，设a，b，c，则向量_.(用a，b，c表示)答案abc解析()