学号1322060006编号 202122060006分类理工LUOYANG NORMAL UNIVERSITY成人训练本科生毕业论文Adult Education Bachelor s Thesis|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.论文题目多项式理论在初等数学中的应用作者姓名郭莉娜指导老师所在院系数学科学学院 专业名称数学与应用数学 完成时间2021 年 3 月 20 日多项式理论在初等数学中的应用潇 洒（指导老师：张永新）（洛阳师范学院数学科学学系河南 洛阳 435002 ）摘 要： 多项式理论为高等代数的主要内容之一，它与初等数学有着亲密的联系，它解决了初等数学中关于多项式的很多遗留问题；本文将从因式分解，一元高次方程，多项式的恒等，证明一类数为无理数等方面来探究多项式理论在初等数学中的应用，并给出了如干应用方法，完全解决了一元多项式的理论问题，促使师范专业的同学明白到高等代数对初等数学的指导作用，体会初等数学与高等精选范本 ,供参考！|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.代数之间的联系，加强同学对多项式理论的学习，以便将来为从事中学数学的老师供应帮忙；关键词: 因式分解 一元高次方程多项式的恒等艾森斯坦判定法多项式理论在初等数学中的应用多项式不仅为中学代数的主要内容之一，也为代数学的一个基本概念，在数学本身 和实际应用中都常遇见它 . 但由于高等代数与初等数学在讨论对象，方法上显现了不同， 加之它的抽象性，造成很多数学专业的高校生认为， “教中学用不上高等代数”，因此很多数学师范生对学习高等代数这门课程不够重视 . 那么如何运用高等代数来指导中学数 学便成了值得探讨的问题 .本文将运用高等代数中的多项式理论方面的学问来处理初等数学中的一些遗留问题 . 通过一些实例， 使师范院校的同学充分明白到高等代数对初等数学的指导作用.|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.1 判定能否分解因式多项式的因式分解为指在给定的数域 F 上，把一个多项式表示成如干个不行约多项式的乘积. 我们知道，一个多项式可能在一个数域上不行约，但在另一数域上可约. 例如2多项式 x2 在有理数域上不行约，由于它不能分解成有理数域上两个一次多项式的乘2积，但这个多项式在实数域上可约，由于 x2( x2)( x2) .由于在初等数学中，我们接触最多的为有理数域上的多项式且多项式次数不超过5次，所以本文将在有理数域上对因式分解作进一步探讨.1.1 待定系数法依据已知条件把原式假设为如干个因式的乘积， 这些因式中的系数可先用字母表示， 它们的值为待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，依据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数 .例 1判定 x42 x38x1 在有理数域上能否分解因式 .解 令 f ( x)x42x38x1 ，由于f ( 1)0 ，所以f ( x) 无一次因式. 如一个整系数n(n0) 多项式f ( x) 在有理数域上可约，那么f (x) 总可以分解成次数都小于 n 的两个整数系数多项式的乘积 . 就可设f ( x)( x2mx1)(x2nx1) ，其中m, n 为整数. 即43432x2x8x1x(mn) xmnx(nm) x1比较等式两端的对应项系数，得m n2mn0.n m8由知 m0 或n0 ，如m0 ，就n2但nm2028 ；如n0 ，就m2 ，但 nm28，所以f ( x) 不行约. 即f ( x) 在有理数域上不能分解因式 .|精.|品.|可.|编.|辑.|学.1.2 艾森斯坦判定法n|习.|资.|料.1定理 1（艾森斯坦判定法）设f ( x)a0a1xL anx为一个整系数多项式 .如为能够找到一个素数 p 使（ i)最高次项系数an 不能被 p 整除；(ii) 其余各项的系数都能被 p 整除；2（ iii)常数项 a0 不能被 p 整除，那么多项式f ( x) 在有理数域上不行约 .x1 n2n2例 2判定2 在有理数域上能否分解因式 .解 令 f ( x)x2 ，易找到素数 p2 ，满意上述条件， 2 .1， 2 | 2，. 2 ，故 f ( x) 在有理数域上不行约 . 即 xn2 在有理数域上不能分解因式 .艾森斯坦判定法不为对于全部整系数多项式都能应用的，由于满意判定法中条件的素数 p 不肯定存在 . 如为对于某一多项式f ( x) 找不到这样的素数 p ，那么f ( x) 可能在有理数域上可约， 也可能不行约 . 例如，对于多项式2x3x2 与x21来说，都找不到一个满意判定法的条件素数 p ，但明显前一个多项式在有理数域上可约，而后一个多项式不行约. 虽然有时对于某一多项式f (x) 来说， 艾森斯坦判定法不能直接应用，但为我2们可以把f ( x) 适当变形后，就可以应用这个判定法，例如x21，令 xy1 得g( y)y22 y22 .12 | 222. 2 ，所以x1在有理数域上不行约 .，由于，以上通过待定系数法和艾森斯坦判定法， 我们就可以知道多项式能否分解因式 .2 分解因式在初等数学中，我们接触的分解因式常用的方法都比较简便，特别，如提公因|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，拆项法，添项法等，这里我将介绍多项式理论中的三种方法来解决较高次多项式的因式分解问题 .2.1 综合除法综合除法用以查找所给整系数多项式f ( x) 的一次因式，f ( x) 有因式 xa 的充要条件为f (a)0 ，a 就为f (x) 的一个根. 当a 为有理数时，可用综合除法试除予以确定 .nn1这种方法的依据为：假如整系数多项式f ( x)a xnan 1 xa1xa0x有因式qp （ p ， q 为互质的整数）就 p 肯定为 an 的约数， q 肯定为 a0 的约数.详细做法为：（1） 先写出整系数多项式f ( x) 的首项系数an 和常数项a0 的全部因数，然后以 an的因数为分母，a0 的因数为分子，做出全部可能的既约分数（包括整数） ，假如f ( x) 有有理根，就必在这些既约分数中，因此它们为f (x) 可能的试除数 .（2） 从上述既约分数中合理地挑选试除数 . 第一， 1 与 -1 永久在有理数qipj 中显现，运算 （f1）. 如 （f1）=0 ，就 1为f ( x) 的有理根. 如有理数 (1) 为f (x) 的有理根，就只需对那些使商f (1)1与f ( 1)1都为整数的qip j 来进行试除. （假定f ( 1) 都不等于零，否就可以用 ( x1) 或( x1) 除 f( x) 而考虑所得的商式 . ）（3） 选好试除数后，即用综合除法试除 .3例 3在有理数域上分解多项式 x6 x2 +15x14 .解 这个多项式的最高次项系数 1的因数为 1，常数项14 的因数为1,2,7,14 . 所以可能的有理根为 1,2,7,14 . 我们算出，44444f (1)4,f (1)36 . 所|精.|品.以都不为f ( x)的根. 另一方面，由于,12 17 17 114 114 都不为整数，所以|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.2,7,14都不为f ( x)的根. 但4 ,412 12都为整数，所以有理数 2 在试验之列，应用综合除法2|16151428141470所以 2 为f ( x) 的一个根， 同时我们得到f ( x)( x2)( x24 x7) . 简单看出， 2 不为f ( x) 的一个重根. 从而f (x)( x2)( x24x7)应用综合除法分解多项式可以使解题思路清楚，解题过程简洁，不易出错，但它必 须建立在多项式有有理根的基础上 . 假如多项式需要试除的因子过多， 就每个因子都要进行一次相应的综合除法，这就给运算增加了困难 .2.2 待定系数法用待定系数法分解因式，第一要依据题设条件，判定原式分解后形成的因式乘积的形式，然后再列方程（组）确定待定系数的值 .