考研数学一试题分析，详解和评注一，挑选题： (此题共8 小题，每道题4 分，共 32 分. 每道题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)x 2（1） 设函数f (x)0ln(2t)dt ，就 f(x) 的零点个数为【】(A) 0.【答案 】应选 (B).(B) 1.(C) 2.(D) 3【详解 】 f (x)ln(2x2 ) 2 x2x ln(2x2 ) 明显 f ( x) 在区间 (,) 上连续， 且 f ( 1) . f (1)( 2ln3) . (2ln3)0 ，由零点定理，知f ( x) 至少有一个零点又 f( x)2ln(2x )24 x22x20 ，恒大于零， 所以f (x) 在 (,) 上为单调递增的又由于f (0)0 ，依据其单调性可知，f ( x) 至多有一个零点故 f ( x) 有且只有一个零点故应选(B).（ 2） 函数f (x, y)arctan x 在点 (0,1)处的梯度等于【y】(A)i(B)i .(C)j .(D)j.【答案 】应选 (A).【 详解 】由于f1yyfxy2x22221xxyyxx2xy2y212y所以fx1，f0 ，于为 grad f ( x, y)(0,1)i .故应选 (A).(0,1)y(0,1)|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.1（ 3）在以下微分方程中，以yC exC2 cos 2 xC3 sin 2 x （ C1, C2 , C3 为任意的常数）为通解的为【】(A)yy4 y4 y0 .(B)yy4 y4 y0 .(C)yy4 y4 y0 .(D)yy4 y4 y0 .【答案 】应选 (D).【详解 】由yC exC2 cos 2 xC3 sin 2 x ，可知其特点根为111 ，2,32 i ，故对应的特点值方程为(1)(2i )(2i )(1)(24)34243244所以所求微分方程为yy4 y4 y0 应选 (D).（4） 设函数f (x)在 (,) 内单调有界， xn为数列，以下命题正确选项【】(A) 如 xn 收敛，就 f ( xn)收敛(B) 如 xn 单调，就 f ( xn ) 收敛|精.|品.(C) 如f ( xn )收敛，就 xn收敛 .(D) 如f (xn)单调，就 xn收敛 .|可.|编.|辑.|学.【答案 】应选 (B).|习.|资.|料.【详解】如 xn 单调，就由函数f (x)在 (,) 内单调有界知，如f (xn )单调有界，因此如 f ( xn )收敛故应选(B).（5） 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵如就以下结论正确选项：A30 ，就【】(A) EA 不行逆，就EA不行逆 .(B)EA 不行逆，就EA 可逆 .(C) EA 可逆，就EA 可逆.(D)EA 可逆，就EA 不行逆 .【答案 】应选 (C).【详解 】故应选 (C).(EA)( EAA2 )EA3E ， (EA)( EAA2)EA3E 故 EA ， EA均可逆故应选(C).（6） 设 A 为 3 阶实对称矩阵，假如二次曲面方程x xyz Ayz1 在正交变换下的标准方程的图形如图，就A 的正特点值个数为【】(A)0.(B) 1.(C) 2.(D) 3.【答案 】应选 (B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为特点值个数为1故应选 (B).x2y2a 2z2c21 故 A的正（7） 设随机变量X ,Y 独立同分布且X 的分布函数为F ( x) ，就 ZmaxX , Y 的分布函数为【】(A)F 2( x) .(B)F ( x) F ( y) . (C)11F ( x) 2 . (D) 1F ( x)1F ( y ) .【答案】应选(A)【详解】F ( z)P ZzPmax X ,YzPXz P YzF( z)F ( z)F 2( z)故应选 (A)（8） 设随机变量X: N (0,1) , Y :N (1,4), 且相关系数XY1 ，就【】|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.(A)(C)PYPY2 X112 X11(B)(D)PYPY2X112 X11【答案】应选(D)【详解】用排除法设YaXb 由XY1 ，知 X ， Y 正相关，得a0. 排除（ A）和（ C）由 X :N (0,1)， Y :N (1,4) ，得EX0, EY1, E(aXb)aEXb 1a0b ， b1. 从而排除 (B).故应选(D)二，填空题：(9 14 小题，每道题4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.)（9） 微分方程xyy0 满意条件y(1)1 的解为y.【答案 】应填 y1 x【详解 】由 dyy ，得 dydx两边积分，得ln | y |ln | x |C dxxyx代入条件y(1)1 ，得 C0 所以y1x（10） 曲线 sin( xy)ln( yx)x 在点 (0,1) 的切线方程为.【答案 】应填 yx1【详解 】设 F ( x, y)sin( xy)ln( yx)x ，就F ( x, y)xy cos(xy)y1x1 ， F ( x, y)1xxcos( xy)yx，F (0,1)x1， F (0,1)y1于为斜率kFx (0,1)1Fy (0,1)故所求得切线方程为yx1（ 11 ） 已 知 幂 级 数a (xn2) n在 x0 处收 敛 ， 在 x4 处 发 散， 就 幂 级 数n 0a ( xn2) n 的收敛域为.n 0【答案 】(1,5 【详解】由题意，知a (xn2) n 的收敛域为(4,0 ，就a xnn的收敛域为( 2,2 所n 0n 0以a ( xn2) n 的收敛域为(1,5 n 0(12)设曲面为z4x2y2的上侧，就xydydzxdzdxx2dxdy.|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.【答案 】4【详解 】作帮助面1 : z0 取下侧就由高斯公式，有xydydzxdzdxx2dxdyxydydzxdzdxx2dxdyxydydzxdzdxx2dxdy12 ydVx dxdy x 2y2 401( x2y2 )dxdy12d2 r 2 . rdrg1642 x 2y2 42004(13) 设 A 为 2 阶矩阵，1 ,2 为线性无关的2 维列向量，A 10 ， A22 12 就 A的非零特点值为 .【答案 】应填 102【详解 】依据题设条件，得A( 1 ,2 )( A1, A2 )(0,212 )(1,2 ) 01记 P(1 ,2 ) ，因1,2 线性无关，故P(1 ,2 ) 为可逆矩阵因此0210202|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.APP01相同的特点值，从而PAP201记 B，就 A 与 B 相像，从而有01|资.|料.由于 |EB |(1) ，0 ，1故 A 的非零特点值为1012(14) 设随机变量X 听从参数为1 的泊松分布，就PXEX 1【答案 】应填.2e【详解 】由于 X 听从参数为1 的泊松分布， 所以EXDX1 从而由DXEX 2( EX )2得 EX 22. 故P XEX 2P X21 2e三，解答题：(15 23 小题，共94 分. )(15)( 此题满分10 分)求极限limsin xsin(sin4