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3.1.1 数系的扩充与复数的概念一、选择题1下列命题中:若aR,则(a1)i是纯虚数;若a、bR且ab,则ai3bi2;若(x21)(x23x2)i是纯虚数,则实数x1;两个虚数不能比较大小其中,正确命题的序号是()A BC D答案D分析由复数的有关概念逐个判定解析对于复数abi(a,bR),当a0,且b0时为纯虚数在中,若a1,则(a1)i不是纯虚数,故错误;在中,若x1,也不是纯虚数,故错误;ai3ai,bi2b1,复数ai与实数b1不能比较大小,故错误;正确故应选D.2若sin21i(cos1)是纯虚数,则的值为()A2kB2kC2kD(以上kZ)答案B解析由得(kZ)2k.选B.3复数43aa2i与复数a24ai相等,则实数a的值为()A1B1或4C4D0或4答案C解析由复数相等的充要条件得解得:a4.故应选C.4已知复数zcosicos2(02)的实部与虚部互为相反数,则的取值集合为()A,B,C,D,答案D解析由条件知,coscos20,2cos2cos10,cos1或,02,或,故选D.5若复数(a2a2)(|a1|1)i(aR)不是纯虚数,则()Aa1Ba1且a2Ca1Da2答案C解析若复数(a2a2)(|a1|1)i不是纯虚数,则有a2a20或|a1|10,解得a1.故应选C.6复数za2b2(a|a|)i(a、bR)为实数的充要条件是()A|a|b|Ba0且abDa0答案D解析复数z为实数的充要条件是a|a|0,故a0.二、填空题7如果x1yi与i3x为相等复数,x,y为实数,则x_,y_答案1解析由复数相等可知,8方程(2x23x2)(x25x6)i0的实数解x_.答案2解析方程可化为解得x2.9如果za2a2(a23a2)i为纯虚数,那么实数a的值为_答案2解析如果z为纯虚数,需,解之得a2.三、解答题10已知z1i,z2cosisin,且z1z2,求cos()的值解析由复数相等的充要条件,知即22得22(coscossinsin)1,即22cos()1,所以cos().一、选择题11若复数z1sin2icos,z2cosisin(R),z1z2,则等于()Ak(kZ)B2k(kZ)C2k(kZ)D2k(kZ)答案D解析由复数相等的定义可知,cos,sin.2k,kZ,故选D.12(2014江西临川十中期中)若(m23m4)(m25m6)i是纯虚数,则实数m的值为()A1B4C1或4D不存在答案B解析由条件知,m4.13已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有实数根n,且zmni,则复数z等于()A3iB3iC3iD3i答案B解析由题意知n2(m2i)n22i0,即,解得z3i,故应选B.14已知集合Ax|x|2,xZ,在集合A中任取一个元素a,则复数z(a21)(a2a2)i为实数的概率为p1,z为虚数的概率为p2,z0的概率为p3,z为纯虚数的概率为p4,则()Ap3p1p4p2Bp4p2p3p1Cp3p4p1p2Dp3p4p1p2答案D解析由条件知A2,1,0,1,2,若zR,则a2a20,a1或2,p1;若z0,则a1,p3;若z为虚数,则a2a20,a1且a2,p2;若z为纯虚数,则a1,p4.p3p4p1p2.二、填空题15若cos(1sin)i是纯虚数,则_.答案2k(kZ)解析由cos(1sin)i是纯虚数知,所以2k(kZ)16若x是实数,y是纯虚数,且满足2x12iy,则x_,y_.答案2i解析设ybi(bR, 且b0),则2x12ibi,再利用复数相等的充要条件得解得x,y2i.三、解答题17若不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立,求实数m的值解析由题意,得当m3时,原不等式成立18当实数m为何值时,复数z(m22m)i为(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?解析(1)当即m2时,复数z是实数;(2)当m22m0,且m0,即m0且m2时,复数z是虚数;(3)当即m3时,复数z是纯虚数
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