专题36 一次函数问题一、一次函数1一次函数的定义一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。2一次函数的图像：是不经过原点的一条直线。3一次函数的性质（1）当k0时，图象主要经过第一、三象限；此时，y随x的增大而增大；（2）当k0时，直线交y轴于正半轴；（4）当b0时，直线y=kx经过三、一象限，y随x的增大而增大；（2）当k0时，向上平移；当b0时，向下平移）四、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.【例题1】（2020贵州黔西南）如图，正比例函数的图象与一次函数yx1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是_【答案】y2x【解析】首先将点P的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解点P到x轴的距离为2，点P的纵坐标为2，点P在一次函数yx1上，2x1，解得x1，点P的坐标为（1，2）设正比例函数解析式为ykx，把P（1，2）代入得2k，解得k2，正比例函数解析式为y2x【点拨】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键【对点练习】（2019广西桂林）如图，四边形的顶点坐标分别为，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为ABCD【答案】D【解析】由，四边形分成面积，可求的直线解析式为，设过的直线为，将点代入解析式得，直线与该直线的交点为，直线与轴的交点为，或，直线解析式为【例题2】（2020杭州）在平面直角坐标系中，已知函数yax+a（a0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（）ABCD【答案】A【分析】求得解析式即可判断【解析】函数yax+a（a0）的图象过点P（1，2），2a+a，解得a1，yx+1，直线交y轴的正半轴，且过点（1，2）。【对点练习】（2019年陕西省）对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（ ）A B C D 【答案】A【解析】因为正比例函数，所以当自变量x的值增加1时，函数y的值减少2，故，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加【例题3】（2020上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米【答案】350【分析】当8t20时，设skt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s70t+400，求出t15时s的值，从而得出答案【解析】当8t20时，设skt+b，将（8，960）、（20，1800）代入，得：8k+b=96020k+b=1800，解得：k=70b=400，s70t+400；当t15时，s1450，18001450350，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米。【对点练习】（2019贵州安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0x20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？【答案】见解析。【解析】（1）设一次函数解析式为：ykx+b当x2，y120；当x4，y140；，解得：，y与x之间的函数关系式为y10x+100；（2）由题意得：（6040x）（10 x+100）2090，整理得：x210x+90，解得：x11x29，让顾客得到更大的实惠，x9，答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元【例题4】（2020北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b（k0）的图象由函数yx的图象平移得到，且经过点（1，2）（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x1时，对于x的每一个值，函数ymx（m0）的值大于一次函数ykx+b的值，直接写出m的取值范围【答案】见解析。【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k1，再将点A（1，2）代入yx+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）根据点（1，2）结合图象即可求得【解析】（1）一次函数ykx+b（k0）的图象由直线yx平移得到，k1，将点（1，2）代入yx+b，得1+b2，解得b1，一次函数的解析式为yx+1；（2）把点（1，2）代入ymx求得m2，当x1时，对于x的每一个值，函数ymx（m0）的值大于一次函数yx+1的值，m2【对点练习】（2019上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线yx，且经过点A（2，3），与x轴交于点B（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当ACBC时，求点C的坐标【答案】（1）一次函数的解析式为yx+2；（2）点C的坐标是（0，）【解析】设一次函数的解析式为ykx+b，解方程即可得到结论；求得一次函数的图形与x轴的解得为B（4，0），根据两点间的距离公式即可得到结论（1）设一次函数的解析式为：ykx+b，一次函数的图象平行于直线yx，k，一次函数的图象经过点A（2，3），3+b，b2，一次函数的解析式为yx+2；（2）由yx+2，令y0，得x+20，x4，一次函数的图形与x轴的解得为B（4，0），点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y），ACBC，y，经检验：y是原方程的根，点C的坐标是（0，）1、 选择题1（2020甘孜州）函数y=1x+3中，自变量x的取值范围是（）Ax3Bx3Cx3Dx3【答案】C【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解【解析】由题意得x+30，解得x32（2020内江）将直线y2x1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）Ay2x5By2x3Cy2x+1Dy2x+3【答案】C【分析】根据函数图象向上平移加，向下平移减，可得答案【解析】直线y2x1向上平移两个单位，所得的直线是y2x+1，3（2020凉山州）若一次函数y（2m+1）x+m3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）Am-12Bm3C-12m3D-12m3【答案】D【分析】根据题意得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可【解析】根据题意得2m+10m-30，解得-12m34.（2020菏泽）函数y=x-2x-5的自变量x的取值范围是（）Ax5Bx2且x5Cx2Dx2且x5【答案】D【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解【解析】由题意得x20且x50，解得x2且x55（2020安徽）如图，ABC和DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合现将ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）ABCD【答案】A【分析】分为0x2、2x4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案【解析】如图1所示：当0x2时，过点G作GHBF于HABC和DEF均为等边三角形，GEJ为等边三角形GH=32EJ=32x，y=12EJGH=34x2当x2时，y=3，且抛物线的开口向上如图2所示：2x4时，过点G作GHBF于Hy=12FJGH=34（4x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上6.（2019江苏扬州）若点P在一次函数的图像上，则点P一定不在（ ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】坐标系中，一次函数经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限。7.（2019贵州省毕节市）已知一次函数ykx+b（k，b为常数，k0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是（）Akb0Bkb0Ck+b0Dk+b0【答案】B【解析】ykx+b的图象经过一、三、四象限，k0，b0，kb0；故选：B8.（2019广西梧州）直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是ABCD【答案】D【解析】直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是：9.（2019湖南邵阳）一次函数的图象如图所示，将直线向下平移若干个单位后得直线，的函数表达式为下列说法中错误的是A BC D当时，【答案】B【解析】将直线向下平移若干个单位后得直线，直线直线，直线向下平移若干个单位后得直线，当时，10.（2019浙江杭州）已知一次函数y1ax+b和y2bx+a（ab），函数y1和y2的图象可能是（）A B C D 【答案】A 【解析】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断A.由可知：a0，b0直线经过一、二、三象限，故A正确；B.由可知：a0，b0直线经过一、二、三象限，故