专题25 正方形问题1正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：一是先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形。二是先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。4正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S=【例题1】（2020台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD则正方形ABCD的面积为 （用含a，b的代数式表示）【答案】a+b【解析】如图，连接DK，DN，证明S四边形DMNTSDKN=14a即可解决问题如图，连接DK，DN，KDNMDT90，KDMNDT，DKDN，DKMDNT45，DKMDNT（ASA），SDKMSDNT，S四边形DMNTSDKN=14a，正方形ABCD的面积414a+ba+b【对点练习】（2019广西贺州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分BAE交BC于点F，将ADE绕点A顺时针旋转90得ABG，则CF的长为 【答案】62【解析】作FMAD于M，FNAG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM4，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，DE2，AE2，ADE绕点A顺时针旋转90得ABG，AGAE2，BGDE2，34，GAE90，ABGD90，而ABC90，点G在CB的延长线上，AF平分BAE交BC于点F，12，2+41+3，即FA平分GAD，FNFM4，ABGFFNAG，GF2，CFCGGF4+2262故答案为62【例题2】（2020青岛）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G若DE2，OF3，则点A到DF的距离为 【答案】455【解析】根据正方形的性质得到AODO，ADC90，求得ADE90，根据直角三角形的性质得到DFAFEF=12AE，根据三角形中位线定理得到FG=12DE1，求得ADCD4，过A作AHDF于H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AODO，ADC90，ADE90，点F是AE的中点，DFAFEF=12AE，OF垂直平分AD，AGDG，FG=12DE1，OF2，OG2，AOCO，CD2OG4，ADCD4，过A作AHDF于H，HADE90，AFDF，ADFDAE，ADHAED，AHDE=ADAE，AE=AD2+DE2=42+22=25，AH2=425，AH=455，即点A到DF的距离为455【对点练习】（2019内蒙古包头）如图，在正方形ABCD中，AB1，点E，F分别在边BC和CD上，AEAF，EAF60，则CF的长是（）ABC1D【答案】C 【解析】四边形ABCD是正方形，BDBAD90，ABBCCDAD1，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BAEDAF，EAF60，BAE+DAF30，DAF15，在AD上取一点G，使GFADAF15，如图所示：AGFG，DGF30，DFFGAG，DGDF，设DFx，则DGx，AGFG2x，AG+DGAD，2x+x1，解得：x2，DF2，CFCDDF1（2）1；故选：C【例题3】（2020湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE（1）求证：BAECDE；（2）求AEB的度数【答案】见解析。【解析】利用等边三角形的性质得到ADAEDE，EADEDA60，利用正方形的性质得到ABADCD，BADCDA90，所以EABEDC150，然后根据“SAS”判定BAECDE；先证明ABAE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算ABE的度数（1）证明：ADE为等边三角形，ADAEDE，EADEDA60，四边形ABCD为正方形，ABADCD，BADCDA90，EABEDC150，在BAE和CDE中AB=DCEAB=EDCAE=DE，BAECDE（SAS）；（2）ABAD，ADAE，ABAE，ABEAEB，EAB150，ABE=12（180150）15【对点练习】（2019湖南株洲）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG（1）求证：DOGCOE；（2）若DGBD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM，求正方形OEFG的边长【答案】（1）见解析；（2）2【解析】解：（1）正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BDDOOCDBAC，DOADOC90GOE90，GOD+DOEDOE+COE90GODCOEGOOE在DOG和COE中DOGCOE（SAS）（2）如图，过点M作MHDO交DO于点HAM，DA2，DMMDB45MHDHsin45DM，DOcos45DAHODODH在RtMHO中，由勾股定理得MODGBD，MHDO，MHDG易证OHMODG，得GO2则正方形OEFG的边长为2一、选择题1（2020河南）如图，在ABC中，ACB90，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（2，6）和（7，0）将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A（32，2）B（2，2）C（114，2）D（4，2）【答案】B【解析】根据已知条件得到AC6，OC2，OB7，求得BC9，根据正方形的性质得到DEOCOE2，求得OEOC2，根据相似三角形的性质得到BO3，于是得到结论如图，设正方形DCOE是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，顶点A，B的坐标分别为（2，6）和（7，0），AC6，OC2，OB7，BC9，四边形OCDE是正方形，DEOCOE2，OEOC2，EOBC，BOEBCA90，EOAC，BOEBCA，EOAC=BOBC，26=BO9，BO3，OC7232，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2）.2（2020湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A1和1B1和2C2和1D2和2【答案】D【解析】根据要求拼平行四边形矩形即可中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D3（2020温州）如图，在RtABC中，ACB90，以其三边为边向外作正方形，过点C作CRFG于点R，再过点C作PQCR分别交边DE，BH于点P，Q若QH2PE，PQ15，则CR的长为（）A14B15C83D65【答案】A【分析】如图，连接EC，CH设AB交CR于J证明ECPHCQ，推出PCCQ=CECH=EPHQ=12，由PQ15，可得PC5，CQ10，由EC：CH1：2，推出AC：BC1：2，设ACa，BC2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出ABCQ10，根据AC2+BC2AB2，构建方程求出a即可解决问题【解析】如图，连接EC，CH设AB交CR于J四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，ACEBCH45，ACB90，BCI90，ACE+ACB+BCH180，ACB+BCI90B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线，DEAIBH，CEPCHQ，ECPQCH，ECPHCQ，PCCQ=CECH=EPHQ=12，PQ15，PC5，CQ10，EC：CH1：2，AC：BC1：2，设ACa，BC2a，PQCR，CRAB，CQAB，ACBQ，CQAB，四边形ABQC是平行四边形，ABCQ10，AC2+BC2AB2，5a2100，a25（负根已经舍弃），AC25，BC45，12ACBC=12ABCJ，CJ=254510=4，JRAFAB10，CRCJ+JR144（2020南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D若P的半径为5，点A的坐标是（0，8）则点D的坐标是（）A（9，2）B（9，3）C（10，2）D（10，3）【答案】A【分析】设O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标【解析】设O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，则PEy轴，PFx轴，EOF90，四边形PEOF是矩形，PEPF，PEOF，四边形PEOF为正方形，OEPFPEOF5，A（0，8），