专题27 涉及圆的证明与计算问题圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。一、与圆有关的概念1圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 2圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。5若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。二、与圆有关的规律1.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧4在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半6半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径7圆内接四边形的特征 圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径2.直线与圆有3种位置关系如果O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 直线和O相交； 直线和O相切； 直线和O相离。3圆与圆的位置关系设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距，则：两圆外离 ；两圆外切 ；两圆相交 ；两圆内切 ；两圆内含 四、切线的规律1.切线的性质（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。2.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 四、求解圆的周长和面积的公式设圆的周长为r，则：1. 求圆的直径公式d=2r2.求圆的周长公式 C=2r 3.求圆的面积公式S=r2五、解题要领1.判定切线的方法（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.2.与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3.攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑类型1图形：（1）如图1,AB是O的直径，点E、C是O上的两点.基本结论有：在“AC平分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切线”三个论断中，知二推一。（2） 如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如图（4）：若CKAB于K，则：CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;ADCACBAC2=ADAB（4）在(1)中的条件、中任选两个条件，当BGCD于E时（如图5），则：DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG=DC2 类型2图形：如图：RtABC中，ACB=90。点O是AC上一点，以OC为半径作O交AC于点E，基本结论有：（1）在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。（2）G是BCD的内心； ；BCOCDEBODE=COCE=CE2；（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如图（3），若BC=CE，则：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；（在、中知一推二）设BE、CD交于点H，,则BH=2EH类型3图形：如图：RtABC中，ABC=90,以AB为直径作O交AC于D，基本结论有：如图：（1）DE切OE是BC的中点；（2）若DE切O，则：DE=BE=CE； D、O、B、E四点共圆CED=2ACDCA=4BE2, 图形特殊化：在（1）的条件下如图：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；如图：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：;类型4图形：如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点F， 基本结论有：（1）DEACDE切O；（2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；EF=EC；D是 的中点。与基本图形1的结论重合。连AD，产生母子三角形。类型5图形：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于， 基本结论有：（1）如图1：AD+BCCD； COD=AEB=90； OD平分ADC（或OC平分BCD）；（注：在、及“CD是O的切线”四个论断中，知一推三）ADBC2=R2；（2）如图2，连AE、CO，则有：COAE，COAE=2R2(与基本图形2重合)（3）如图3，若EFAB于F，交AC于G，则：EG=FG.类型6图形：如图：直线PRO的半径OB于E，PQ切O于Q，BQ交直线PQ于R。基本结论有：（1）PQ=PR (PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一（3）2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2类型7图形：如图，ABC内接于O，I为ABC的内心。基本结论有：（1）如图1，BD=CD=ID；DI2DEDA；AIB=90+ACB;（2）如图2，若BAC=60，则：BD+CE=BC.类型8图形：已知，AB是O的直径，C是 中点，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有：（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中点)（2）OE=AF，OEAC；ODEAGF（3）BEBG=BDBA（4）若D是OB的中点，则：CEF是等边三角形； 【例题1】（2020武汉）如图，在半径为3的O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E若E是BD的中点，则AC的长是（）A523B33C32D42【答案】D【解析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出ODAC，AFCF，进而证得DFBC，根据三角形中位线定理求得OF=12BC=12DF，从而求得BCDF2，利用勾股定理即可求得AC连接OD，交AC于F，D是AC的中点，ODAC，AFCF，DFE90，OAOB，AFCF，OF=12BC，AB是直径，ACB90，在EFD和ECB中DFE=ACB=90DEF=BECDE=BE EFDECB（AAS），DFBC，OF=12DF，OD3，OF1，BC2，在RtABC中，AC2AB2BC2，AC=AB2-BC2=62-22=42，【对点练习】（2019山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE如果A70，那么DOE的度数为（）A35B38C40D42【答案】C【解析】考点是圆周角定理、直角三角形的性质。连接CD，由圆周角定理得出BDC90，求出ACD90A20，再由圆周角定理得出DOE2ACD40即可，连接CD，如图所示：BC是半圆O的直径，BDC90，ADC90，ACD90A20，DOE2ACD40【例题2】（2020牡丹江）AB是O的弦，OMAB，垂足为M，连接OA若AOM中有一个角是30，OM23，则弦AB的长为 【答案】12或4【解析】分OAM30，AOM30，两种情况分别利用正切的定义求解即可OMAB，AMBM，若OAM30，则tanOAM=OMAM=23AM=33，AM6，AB2AM12；若AOM30，则tanAOM=AMOM=AM23=33，AM2，AB2AM4【对点练习】(2019安徽)如图，ABC内接于O，CAB30，CBA45，CDAB于点D，若O的半径为2，则CD的长为 【答案】【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键连接CO并延长交O于E，连接BE，于是得到EA30，EBC90，解直角三角形即可得到结论连接CO并延长交O于E，连接BE，则EA30，EBC90，O的半径为2，CE4，BCCE2，CDAB，CBA45，CDBC【例题3