专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。（3）在函数中的应用。借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。（4）在几何中的应用。对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15时，如图在RtACB中，C90，ABC30，延长CB使BDAB，连接AD，得D15，所以tan15=ACCD=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3类比这种方法，计算tan22.5的值为（）A2+1B2-1C2D12【对点练习】（2019湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A BCD【例题2】（2020济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法如图，直线yx+5和直线yax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5ax+b的解是（）Ax20Bx5Cx25Dx15【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k10）与y=k2x+b2（k20）相交于点（2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1b2等于 【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上(1）小明发现DGBE，请你帮他说明理由(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出GHE与BHD面积之和的最大值，并简要说明理由【对点练习】（2020山东日照模拟）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图1，在RtABC中，ACB=90，ABC=30，则：AC=AB探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：ACE为等边三角形；BE与CE之间的数量关系为 （2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边ADE，且点E在ACB的内部，连接BE试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标一、选择题1（2020温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A（1.5+150tan）米B（1.5+150tan）米C（1.5+150sin）米D（1.5+150sin）米2（2020恩施州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，EFAB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A. 4 B. 7 C. 3 D. 12 3（2020济南模拟）如图，抛物线y=2x2+8x6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（） A2m B3m C3m2D3m 二、填空题4（2020乌鲁木齐模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1且过点（，0），有下列结论：abc0；a2b+4c=0；25a10b+4c=0；3b+2c0；abm（amb）；其中所有正确的结论是 （填写正确结论的序号）5（2020泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地BCAD，BEAD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过50时，可确保山体不滑坡如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移 m时，才能确保山体不滑坡（取tan501.2）6（2020济南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=6，DAB=60，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：ABFCBF；点E到AB的距离是2 ；tanDCF= ；ABF的面积为 其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、解答题7.（2019湖南湘西州）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来8. 我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：作图确定水塔的位置；求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下： 如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CAAB，DBAB，使得CA= _DB= _. 在AB上取一点P，可设AP= _，BP= _. 的最小值即为线段_和线段_长度之和的最小值，最小值为 _9.（2019山东省滨州市 ）如图，抛物线yx2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；当点P到直线AD的距离为时，求sinPAD的值10（2019湖南湘西州）如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB4（1）求函数y和ykx+b的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组0kx+b的解集11（2019广西百色）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0）C（1，2），函数y（k0）的图象经过点C（1）求k的值及直线OB的函数表达式：（2）求四边形OABC的周长12.（2020通辽模拟）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45，求建筑物AB的高（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）