专题37 二次函数问题1.二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。2.二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的图像与性质yxO（1）对称轴：（2）顶点坐标：（3）与y轴交点坐标（0，c）（4）增减性：当a0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a0时，抛物线的开口向上；当a0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。6函数平移规律：左加右减、上加下减.【例题1】（2020贵州黔西南）如图，抛物线yax2bx4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x，连接AC，AD，BC若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）A. 点B坐标为(5，4)B. ABADC. aD. OCOD16【对点练习】（2020湖北天门模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b2a=0；abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正确的有（ ）A3个 B2个 C1个 D0个【例题2】（2020无锡）二次函数yax23ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 【对点练习】已知抛物线y=ax23x+c（a0）经过点（2，4），则4a+c1= 【例题3】（2020河南）如图，抛物线yx2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OAOB，点G为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围【对点练习】如图，抛物线y=x2bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由一、选择题1（2020鄂州）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C下列结论：abc0，2a+b0，4a2b+c0，3a+c0，其中正确的结论个数为（）A1个B2个C3个D4个2（2020株洲）二次函数yax2+bx+c，若ab0，ab20，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1x2，x1+x20，则（）Ay1y2By1y2Cy1y2Dy1、y2的大小无法确定3（2020襄阳）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：ac0；3a+c0；4acb20；当x1时，y随x的增大而减小其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个4（2020广东）把函数y（x1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（）Ayx2+2By（x1）2+1Cy（x2）2+2Dy（x1）235（2020菏泽）一次函数yacx+b与二次函数yax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A B C D6（2020天津）已知抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0，c1）经过点（2，0），其对称轴是直线x=12有下列结论：abc0；关于x的方程ax2+bx+ca有两个不等的实数根；a-12其中，正确结论的个数是（）A0B1C2D37（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线yx2（m1）x+m（m1）沿y轴向下平移3个单位则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8.（2019哈尔滨）将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（ ）A BC D9.（2019年陕西省）已知抛物线，当时，且当时， y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）A B C D 10.（2019广西梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是ABCD二、填空题11（2020南京）下列关于二次函数y（xm）2+m2+1（m为常数）的结论：该函数的图象与函数yx2的图象形状相同；该函数的图象一定经过点（0，1）；当x0时，y随x的增大而减小；该函数的图象的顶点在函数yx2+1的图象上其中所有正确结论的序号是 12（2020连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y0.2x2+1.5x2，则最佳加工时间为 min13（2020泰安）已知二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的y与x的部分对应值如下表：x54202y60646下列结论：a0；当x2时，函数最小值为6；若点（8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1y2；方程ax2+bx+c5有两个不相等的实数根其中，正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填上）14（2020哈尔滨）抛物线y3（x1）2+8的顶点坐标为 15（2020无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： 16（2020上海）如果将抛物线yx2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 17（2020黔东南州）抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x1，则当y0时，x的取值范围是 18（2020灌南县一模）二次函数yx22x+3的图象的顶点坐标为 19.（2019黑龙江哈尔滨）二次函数的最大值是 20.（2019江苏镇江）已知抛物线yax24ax4a1（a0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2a1的最小值是 21.（2019内蒙古赤峰）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；ab+c0；一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；当x1或x3时，y0上述结论中正确的是 （填上所有正确结论的序号）三、解答题22（2020陕西）如图，抛物线yx2+bx+c经过点（3，12）和（2，3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点要使以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标23（2020凉山州）如图，二次函数yax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQx轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标24（2020黑龙江）如图，已知二次函数yx2+（a+1）xa与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知BAC的面积是6（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使SABPSABC若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由25（2020衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数yx2+px+q的图象过点（1，0），（2，0）（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当2x1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y（2m）x+2m的图象与二次函数yx2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a3b，求m的取值范围26（2020甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数ykx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润27（2020安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线yx+m经过点A，抛物线yax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点（1）判断点B是否在直线yx+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线yax2+bx+1，使其顶点仍在直线yx+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值28（2020上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）抛物线yax2+bx（a0）经过点A（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线yax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线yax2+bx的顶点D位于AOB内，求a的取值范围29（2020苏州）如图，二次函数yx2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左