专题18 等腰、等边三角形问题一、等腰三角形1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形2. 性质性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60；性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。3.判定（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角是60的三角形是等边三角形。三、解题方法要领1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。【例题1】（2020临沂）如图，在ABC中，ABAC，A40，CDAB，则BCD（）A40B50C60D70【对点练习】如图所示，点D是ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）AACBC BAC=BC CAABC DA=ABC【例题2】（2020宁波）BDE和FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）AABC的周长BAFH的周长C四边形FBGH的周长D四边形ADEC的周长【对点练习】如图所示，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P则APE的度数为 【例题3】（2020台州）如图，已知ABAC，ADAE，BD和CE相交于点O（1）求证：ABDACE；（2）判断BOC的形状，并说明理由【对点练习】如图，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于点O，AC=BD.求证： (1)BC=AD； (2)OAB是等腰三角形.【对点练习】已知：在ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DEAB，DFBC，垂足分别为点E，F，且DE=DF求证：ABC是等边三角形【对点练习】如图，ABC中，AB=AC，A=36，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC（1）求ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长一、选择题1（2020聊城）如图，在ABC中，ABAC，C65，点D是BC边上任意一点，过点D作DFAB交AC于点E，则FEC的度数是（）A120B130C145D1502（2020南充）如图，在等腰ABC中，BD为ABC的平分线，A36，ABACa，BCb，则CD（）Aa+b2Ba-b2CabDba3（2020徐州）如图，AB是O的弦，点C在过点B的切线上，OCOA，OC交AB于点P若BPC70，则ABC的度数等于（）A75B70C65D604.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）A B C D不能确定5.（2019浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若BDE=75，则CDE的度数是（ ）A.60B.65C.75D.806.（2019湖南长沙）如图，RtABC中，C90，B30，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则CAD的度数是（）A20B30C45D60二、填空题7（2020台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的DEF的周长是8（2020牡丹江）如图，在RtABC中，CACB，M是AB的中点，点D在BM上，AECD，BFCD，垂足分别为E，F，连接EM则下列结论中：BFCE；AEMDEM；AECE=2ME；DE2+DF22DM2；若AE平分BAC，则EF：BF=2：1；CFDMBMDE，正确的有 （只填序号）9如图所示，D是等边ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，ABC的周长是9，则E= ，CE= 10.(2019黑龙江绥化)如图,在ABC中,ABAC,点D在AC上,且BDBCAD,则A_度.三、解答题11（2020绍兴）问题：如图，在ABD中，BABD在BD的延长线上取点E，C，作AEC，使EAEC若BAE90，B45，求DAC的度数答案：DAC45思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，其余条件不变，那么DAC的度数会改变吗？说明理由（2）如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，再将“BAE90”改为“BAEn”，其余条件不变，求DAC的度数12（2020凉山州）如图，点P、Q分别是等边ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发（1）如图1，连接AQ、CP求证：ABQCAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数