专题14 角平分线问题1.角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是AOB的平分线，所以1=2=AOB，或AOB=21=22.类似地，还有角的三等分线等.2.作角平分线角平分线的作法（尺规作图）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；过点P作射线OP，射线OP即为所求3.角平分线的性质（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。符号语言：OP平分AOB，APOA，BPOB，AP=BP.（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。符号语言： APOA，BPOB，AP=BP，点P在AOB的平分线上.注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ABC的角平分线，或BADCAD且点D在BC上.说明：AD是ABC的角平分线BADDACBAC (或BAC2BAD2DAC) .（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.4.角平分线的综合应用（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）在解决综合问题中的应用【例题1】（2020襄阳）如图，ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分BEF，若EFG64，则EGD的大小是（）A132B128C122D112【答案】C【分析】根据平行线的性质得到BEF180EFG116，根据角平分线的定义得到BEG=12BEF58，由平行线的性质即可得到结论【解析】ABCD，EFG64，BEF180EFG116，EG平分BEF交CD于点G，BEG=12BEF58，ABCD，EGD180BEG122【对点练习】（2020长春模拟 ）如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，过点D作DEBC交AC于点E若A=54，B=48，则CDE的大小为（）A44 B40 C39 D38【答案】C【解析】根据三角形内角和得出ACB，利用角平分线得出DCB，再用平行线的性质解答即可A=54，B=48，ACB=1805448=78，CD平分ACB交AB于点D，DCB=78=39，DEBC，CDE=DCB=39，【点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。【例题2】（2020随州）如图，点A，B，C在O上，AD是BAC的角平分线，若BOC120，则CAD的度数为 【答案】30【解析】先根据圆周角定理得到BAC=12BOC60，然后利用角平分线的定义确定CAD的度数BAC=12BOC=1212060，而AD是BAC的角平分线，CAD=12BAC30【对点练习】（2019四川自贡）如图，在RtABC中，ACB90，AB10，BC6，CDAB，ABC的平分线BD交AC于点E，DE 【答案】【解析】由CDAB，DABE，DCBE，所以CDBC6，再证明AEBCED，根据相似比求出DE的长ACB90，AB10，BC6，AC8，BD平分ABC，ABECDE，CDAB，DABE，DCBE，CDBC6，AEBCED，CEAC83，BE，DEBE【点拨】本题考查相似三角形性质、勾股定理、角平分线性质。【例题3】（2020金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OEAC于点E，OFBD于点F，OEOF1cm，ACBD6cm，CEDF，CE：AE2：3按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 cm（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为 cm【答案】（1）16 （2）6013【分析】（1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，求出矩形的长和宽即可解决问题（2）如图3中，连接EF交OC于H想办法求出EF，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题解：（1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，OEOF1cm，EF2cm，ABCD2cm，此时四边形ABCD的周长为2+2+6+616（cm），故答案为16（2）如图3中，连接EF交OC于H由题意CECF=256=125（cm），OEOF1cm，CO垂直平分线段EF，OC=CE2+OE2=(125)2+12=135（cm），12OEEC=12COEH，EH=1125135=1213（cm），EF2EH=2413（cm）EFAB，EFAB=CECB=25，AB=522413=6013（cm）故答案为6013【对点练习】已知：点P是MON内一点，PAOM于A，PBON于B，且PAPB求证：点P在MON的平分线上 【答案】见解析。【解析】证明：连结OP在RtPAO和RtPBO中， PA=PB OP=OP RtPAORtPBO（HL）12OP平分MON即点P在MON的平分线上【点拨】全等三角形性质、角平分线定义。一、选择题1（2020乐山）如图，E是直线CA上一点，FEA40，射线EB平分CEF，GEEF则GEB（）A10B20C30D40【答案】B【分析】根据平角的定义得到CEF180FEA18040140，由角平分线的定义可得CEB=12CEF=12140=70，由GEEF可得GEF90，可得CEG180AEFGEF180409050，由GEBCEBCEG可得结果【解析】FEA40，GEEF，CEF180FEA18040140，CEG180AEFGEF180409050，射线EB平分CEF，CEB=12CEF=12140=70，GEBCEBCEG7050202（2020福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD5，则CD等于（）A10B5C4D3【答案】B【解析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD5，CD53.如图，在ABC中，C=90，AD平分BAC，过点D作DEAB于点E，测得BC=9，BE=3，则BDE的周长是( )A.15 B.12 C.9 D.6【答案】B 【解析】在ABC中，C=90，ACCDAD平分BAC，DEAB，DE=CDBC=9，BE=3，BDE的周长为BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=124如图，面积为24的ABCD中，对角线BD平分ABC，过点D作DEBD交BC的延长线于点E，DE6，则sinDCE的值为（）ABCD【答案】A【解析】连接AC，过点D作DFBE于点E，BD平分ABC，ABDDBC，ABCD中，ADBC，ADBDBC，ADBABD，ABBC，四边形ABCD是菱形，ACBD，OBOD，DEBD，OCED，DE6，OC，ABCD的面积为24，BD8，5，设CFx，则BF5+x，由BD2BF2DC2CF2可得：82（5+x）252x2，解得x，DF，sinDCE故选：A5.已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A作APB的平分线PC交AB于点CB过点P作PCAB于点C且AC=BCC取AB中点C，连接PCD过点P作PCAB，垂足为C【答案】B【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论A利用SAS判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；C利用SSS判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；D利用HL判断出PCAPCB，CA=CB，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，B过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意。6如图，ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是BAC、ABC的平分线，BAC=50，ABC=60，则EAD+ACD=（）A75B80C85D90【答案】A【解析】依据AD是BC边上的高，ABC=60，即可得到BAD=30，依据BAC=50，AE平分BAC，即可得到DAE=5，再根据ABC中，C=180ABCBAC=70，可得EAD+ACD=75AD是BC边上的高，ABC=60，BAD=30，BAC=50，AE平分BAC，BAE=25，DAE=3025=5，ABC中，C=180ABCBAC=70，EAD+ACD=5+70=757（2019山东滨州）如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O，BN平分CBD，交边CD于点N，交对角线AC于点M，若OM1，则线段DN的长是多少（）A1.5B2CD2【答案】B【解析】作NEBD于E，如图所示：四边形ABCD是正方形，ACBD，ADCBCD90，ODC45，OBOD，BCDC，DEN是等腰直角三角形，DENE，DNNE，BN平分CBD，NENC，NENCDE，设NENCDEx，则DNx，DCx+x，BDDC2x+x，BEBDDEx+x