专题41 概率问题一、确定事件和随机事件1确定事件（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。2随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。（1）有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；（2）有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；（3）有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件二、概率1.概率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。即 . 概率2确定事件概率（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=03古典概型的定义某个试验若具有：在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。4古典概型的概率的求法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=5列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。6列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。7树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。8运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 9利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。【例题1】（2020徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A5B10C12D15【答案】A【解析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案设袋子中红球有x个，根据题意，得：x20=0.25，解得x5，经检验：x5是分式方程的解，袋子中红球的个数最有可能是5个.【对点练习】（2019湖北武汉）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A3个球都是黑球B3个球都是白球C三个球中有黑球D3个球中有白球【答案】B 【解析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型A.3个球都是黑球是随机事件；B.3个球都是白球是不可能事件；C.三个球中有黑球是必然事件；D.3个球中有白球是随机事件。【例题2】（2020德州）如图，在44的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是【答案】16【解析】直接利用轴对称图形的性质结合概率求法得出答案如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是：212=16【对点练习】（2019四川省达州市）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 【答案】2/3【解析】本题考查的是概率的求法如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光所以P（灯泡发光）【对点练习】（2019黑龙江哈尔滨）同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_【答案】【解析】列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，所以两枚骰子点数相同的概率为【例题3】（2020浙江杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是【答案】【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是【对点练习】（2019湖北省荆门市）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b那么方程x2+ax+b0有解的概率是（）ABCD【答案】D【解析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a24b0，即a24b的结果数，然后根据概率公式求解画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中使a24b0，即a24b的有19种，方程x2+ax+b0有解的概率是。【例题4】（2020贵州黔西南）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是_名；（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角的度数是_，并把条形统计图补充完整；（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为_；（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率【答案】（1）40；（2）54，见解析；（3）75；（4）树状图见解析，【解析】（1）条形统计图中知B级12名，扇形统计图知B级占比30%，可得总人数；（2）计算出A级所占百分比，再乘以360即可；（3）用A级所占百分比乘以全校总人数即可；（4）根据概率的计算公式进行计算即可【详解】（1）条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%，1230%40（名）；（2）A组的频数为6，A级的扇形圆心角的度数为：36054C级频数为：40612814（人），据此补条形图；（3）该校八年级学生中成绩为优秀的有：（4）画树状图得共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，选中小明的概率为【点拨】熟练掌握条形统计图，扇形统计图，及概率的运用公式，是解题的关键【对点练习】（2019广东广州）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图频数分布表组别时间/小时频数/人数A组0t12B组1t2mC组2t310D组3t412E组4t57F组t54请根据图表中的信息解答下列问题：（1）求频数分布表中m的值；（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生【答案】见解析。【解析】（1）用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值.m4021012745；（2）分别用360乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图.B组的圆心角36045，C组的圆心角360或90补全扇形统计图如图1所示：（3）画出树状图，即可得出结果画树状图如图2：共有12个等可能的结果，恰好都是女生的结果有6个，恰好都是女生的概率为一、选择题1.（2020浙江绍兴）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等则小球从E出口落出的概率是（）ABCD【答案】C【解析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以小球从E出口落出的概率是：2.（2020浙江宁波）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率故选：D【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键3（2020泰州）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A只闭合1个开关B只闭合2个开关C只闭合3个开关D闭合4个开关【答案】B【解析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可A.只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；B.只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；C.只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；D.闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意.4（2020营口）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20801002004001000“射中九环以上”的次数186882168327823“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）0.900.850.820.840.820.82根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）A