专题11 一元二次方程及其应用1一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。2一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。3一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。4一元二次方程的解法（1）直接开方法：适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。（2）配方法：套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：将已知方程化为一般形式； 化二次项系数为1； 常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-pq；如果q0,方程无实根（3）公式法：当b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。其中：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。=b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根。，=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。=b2-4ac0时，方程无实数根。定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数；第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程；第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法；第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【例题1】（2020临沂）一元二次方程x24x80的解是（）Ax12+2，x222Bx12+2，x222Cx12+2，x222Dx123，x22【答案】B【分析】方程利用配方法求出解即可【解析】一元二次方程x24x80，移项得：x24x8，配方得：x24x+412，即（x2）212，开方得：x22，解得：x12+2，x222【对点练习】（2019浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（ ）A.(x-3)2=17 B.(x-3)2=14 C.（x-6)2=44 D.(x-3）2=1【答案】A【解析】配方法解一元二次方程x2-6x-8=0，x2-6x+9=8+9，（x-3）2=17.【点拨】本题体现直接配方法解一元二次方程。【对点练习】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x242x的解是【答案】x1，x2【解析】直接利用公式法解方程得出答案3x242x3x2+2x40，则b24ac443（4）520，故x，解得：x1，x2【点拨】本题体现求根公式法解一元二次方程。【例题2】（2020菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x24x+k0的两个根，则k的值为（）A3B4C3或4D7【答案】C【分析】当3为腰长时，将x3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意【解析】当3为腰长时，将x3代入x24x+k0，得：3243+k0，解得：k3；当3为底边长时，关于x的方程x24x+k0有两个相等的实数根，（4）241k0，解得：k4，此时两腰之和为4，43，符合题意k的值为3或4【对点练习】(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（ ）A. 34B.30C.30或34D.30或36【答案】A.【解析】分两种情况讨论： 若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根，=(-12)2-41(m+2)=136-4m=0,m=34.此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意. 若4为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为4，方程x2-12x+m+2=0有一根为4.42-124+m+2=0，解得，m=30.此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去.综上，m的值为34.【例题3】（2020贵州黔西南）已知关于x的一元二次方程(m1)x22x10有实数根，则m的取值范围是（ ）A. m2B. m2C. m2且m1D. m2且m1【答案】D【解析】根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围解：因为关于x的一元二次方程x22xm0有实数根，所以b24ac224(m1)10，解得m2又因为(m1)x22x10是一元二次方程，所以m10综合知，m的取值范围是m2且m1，因此本题选D【点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键【对点练习】（2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x22x+m0有实数根，则实数m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm1【答案】【解析】关于x的一元二次方程x22x+m0有实数根，（2）24m0，解得：m1【例题4】（2020衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A352035x20x+2x2600B352035x220x600C（352x）（20x）600D（35x）（202x）600【答案】C【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（352x）米，宽为（20x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【解析】依题意，得：（352x）（20x）600【对点练习】（2019哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A20% B40% C18% D36%【答案】A【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1x）2b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键设降价的百分率为x根据题意可列方程为25（1x）216解方程得，（舍）每次降价得百分率为20%【点拨】本题体现直接开方法解一元二次方程。一、选择题1（2020凉山州）一元二次方程x22x的根为（）Ax0Bx2Cx0或x2Dx0或x2【答案】C【分析】移项后利用因式分解法求解可得【解析】x22x，x22x0，则x（x2）0，x0或x20，解得x10，x22，2（2020怀化）已知一元二次方程x2kx+40有两个相等的实数根，则k的值为（）Ak4Bk4Ck4Dk2【答案】C【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值【解析】一元二次方程x2kx+40有两个相等的实数根，（k）24140，解得：k43（2020黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）Ak1/4Bk1/4Ck4Dk1/4且k0【答案】B【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围【解析】关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k0有两个实数根x1，x2，（2k+1）241（k2+2k）0，解得：k1/44（2020泰安）将一元二次方程x28x50化成（x+a）2b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A4，21B4，11C4，21D8，69【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【解析】x28x50，x28x5，则x28x+165+16，即（x4）221，a4，b21，5（2020黑龙江）已知2+是关于x的一元二次方程x24x+m0的一个实数根，则实数m的值是（）A0B1C3D1【答案】B【分析】把x2+代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值【解析】根据题意，得（2+）24（2+）+m0，解得m16（2020滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2/2-（k+5）x+k2+2k+250的根的情况为（）A有两个相等的实数根B没有实数根C有两个不相等的实数根D无法判定【答案】B【分析】先根据根的判别式求出“”的值，再根据根的判别式的内容判断即可【解析】x2/2-（k+5）x+k2+2k+250，（k+5）24（k2+2k+25）/2k2+6k25（k3）216，不论k为何值，（k3）20，即（k3）2160，所以方程没有实数根.7. （2019湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A9（12x）1B9（1x）21C9（1+2x）1D9（1+x）21【答案】B【解析】等量关系为：2016年贫困人口（1下降率）22018年贫困人口，把相关数值代入计算即可设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：二、填空题8（2020辽阳）若关于x的一元二次方程x2