专题20 相似三角形问题一、比例1成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。2黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0618。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。3平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 4两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。5平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。2相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。3三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。4直角三角形相似判定定理:以上各种判定方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。5相似三角形的性质:（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。【例题1】（2020河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A四边形NPMQB四边形NPMRC四边形NHMQD四边形NHMR【答案】A【分析】由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC=5，OM25，OD=2，OB=10，OA=13，OR=5，OQ22，OP210，OH35，ON213，由OMOC=2，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果【解析】以点O为位似中心，点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC=22+12=5，OM=42+22=25，OD=2，OB=32+12=10，OA=32+22=13，OR=22+12=5，OQ22，OP=62+22=210，OH=62+32=35，ON=62+42=213，OMOC=255=2，点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ。【对点练习】（2019广西北海）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别为A（1，1），B（4，1），C（2，3）（1）画出ABC关于点O成中心对称的A1B1C1；（2）以点A为位似中心，将ABC放大为原来的2倍得到AB2C2，请在第二象限内画出AB2C2；（3）直接写出以点 A1，B1，C1为顶点，以 A1B1为的平行四边形的第四个顶点D的坐标【答案】见解析。【解析】（1）根据关于原点对称的点坐标特征写出A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可.如图，A1B1C1为所作.（2）延长AB到B2使AB22AB，延长AC到C2使AC22AC，连接B2C2，则AB2C2满足条件.第四个顶点D的坐标为（1，3）或（5，3）（3）另一条平行四边形的性质，把C1点向左或右平移3个单位得到D点坐标第四个顶点D的坐标为（1，3）或（5，3）【例题2】（2019广西贺州）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DEBC，若AD2，AB3，DE4，则BC等于（）A5B6C7D8【答案】B 【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键由平行线得出ADEABC，得出对应边成比例，即可得出结果DEBC，ADEABC，即，解得：BC6【对点练习】（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是ABC边AB，AC上的点，ADEACB，若AD2，AB6，AC4，则AE的长是（）A1B2C3D4【答案】C 【解析】ADEACB，AA，ADEACB，即，解得，AE3【点拨】证明ADEACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【例题3】（2020山东泰安模拟）如图，矩形ABCD中，AB3，BC12，E为AD中点，F为AB上一点，将AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是【答案】2【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分DCF，再证FEC90，最后证FECEDC，利用相似的性质即可求出EF的长度如图，连接EC，四边形ABCD为矩形，AD90，BCAD12，DCAB3，E为AD中点，AEDEAD6由翻折知，AEFGEF，AEGE6，AEFGEF，EGFEAF90D，GEDE，EC平分DCG，DCEGCE，GEC90GCE，DEC90DCE，GECDEC，FECFEG+GEC18090，FECD90，又DCEGCE，FECEDC，EC3，FE2【对点练习】2019黑龙江省龙东地区）一张直角三角形纸片ABC，ACB90，AB10，AC6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当BDE是直角三角形时，则CD的长为_【答案】3或.【解析】在BDE中，B是锐角，有两种可能，DEB或EDB是直角，由此画出示意图，逐步求解即可.如下图，DEB是直角时，ACB90，AB10，AC6，BC=8,设CD=x，则BD=8-x，由折叠知CD=ED=x，ACBDEB=90，BEDBCA，即，解得x=3;如下图，EDB是直角时，EDAC，BEDBAC，,即，解得x=，综上，CD的长为3或.【点拨】在BDE中，B是锐角，有两种可能，DEB或EDB是直角，由此画出示意图，逐步求解即可.【例题4】（2020杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DEAC，EFAB（1）求证：BDEEFC（2）设AFFC=12，若BC12，求线段BE的长；若EFC的面积是20，求ABC的面积【解析】见解析。【分析】（1）由平行线的性质得出DEBFCE，DBEFEC，即可得出结论；（2）由平行线的性质得出BEEC=AFFC=12，即可得出结果；先求出FCAC=23，易证EFCBAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果【解答】（1）证明：DEAC，DEBFCE，EFAB，DBEFEC，BDEEFC；（2）解：EFAB，BEEC=AFFC=12，ECBCBE12BE，BE12-BE=12，解得：BE4；AFFC=12，FCAC=23，EFAB，EFCBAC，SEFCSABC=（FCAC）2（23）2=49，SABC=94SEFC=942045【对点练习】（2019四川省凉山州）如图，ABDBCD90，DB平分ADC，过点B作BMCD交AD于M连接CM交DB于N（1）求证：BD2ADCD；（2）若CD6，AD8，求MN的长【答案】见解析。【解析】证明：（1）通过证明ABDBCD，可得，可得结论；DB平分ADC，ADBCDB，且ABDBCD90，ABDBCDBD2ADCD（2）由平行线的性质可证MBDBDC，即可证AMMDMB4，由BD2ADCD和勾股定理可求MC的长，通过证明MNBCND，可得，即可求MN的长BMCDMBDBDCADBMBD，且ABD90BMMD，MABMBABMMDAM4BD2ADCD，且CD6，AD8，BD248，BC2BD2CD212MC2MB2+BC228MC2BMCDMNBCND，且MC2MN【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键一、选择题1（2020重庆）如图，ABC与DEF位似，点O为位似中心已知OA：OD1：2，则ABC与DEF的面积比为（）A1：2B1：3C1：4D1：5【答案】C【解析】根据位似图形的概念求出ABC与DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可ABC与DEF是位似图形，OA：OD1：2，ABC与DEF的位似比是1：2ABC与DEF的相似比为1：2，ABC与DEF的面积比为1：4。2.（2020浙江绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm则投影三角板的对应边长为（）A20cmB10cmC8cmD3.2cm【答案】A【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xcm，三角尺与投影三角尺相似，8：x2：5，解得x203（2020遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF2FD，则BEEG的值为（）A12B13C23D34【答案】C【分析】由AF2DF，可以假设DF