专题02 整式的运算本专题主要介绍整式的加、减、乘、除以及混合运算需要掌握的基本概念、规律。通过例题讲解和训练抓住解决问题的思维方法，以便快速提高大家解决问题能力。一、整式的基本概念1.单项式（1）由数或者字母的积组成的式子，叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也是单项式。（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。（3）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。2.多项式（1）几个单项式的和叫做多项式。（2）其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。（3）多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。3.整式单项式与多项式统称整式。二、整式的加减1.同类项概念：含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。3.合并同类项的法则：系数相加减，字母及其字母的指数不变.4.去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 5.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。三、整式的乘除1.基本运算（1）同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（2）幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方法则可以逆用：即 （3）积的乘方法则：（是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。（4）同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。（5）零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。即（a0）（6）负整数指数：任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次幂的倒数,即( a0,p是正整数)。2.整式的乘法（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。（2）单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)。（3）多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。（4）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即（5）完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，再加上这两个的积的2倍。即：（a+b）2=a2+b2+2ab（6）完全平方差公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减上这两个的积的2倍。即：（a-b）2=a2+b2-2ab3.整式的除法（1）同底数幂的除法：（2）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（3）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。（4）添括号法则：括号前面是+号，放进括号里面的每一项都不变号。括号前面是号，放进括号里面的每一项都要变号。【例题1】（2020贵州黔西南）若7axb2与a3by和为单项式，则yx_【对点练习】（2019贵州黔西南州）如果3ab2m1与9abm+1是同类项，那么m等于（）A2B1C1D0【例题2】（2020凉山州）化简求值：（2x+3）（2x3）（x+2）2+4（x+3），其中x=2【对点练习】（2019吉林省）先化简，再求值：（a-1)2+a(a+2),其中a=【例题3】（2020贵州黔西南）下列运算正确的是（ ）A. a3a2a5B. a3aa3C. a2a3a5D. (a2)4a6【对点练习】（2019四川省雅安市）下列计算中，正确的是（ ）Aa4+a4=a8 Ba4a4=2a4 C(a3)4a2=a14 D(2x2y)36x3y2=x3y【例题4】（2020贵州黔西南）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为_【对点练习】（2020枣庄模拟）图（1）是一个长为2a，宽为2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）AabB（a+b）2C（ab）2Da2b2一、选择题1（2020遂宁）下列计算正确的是（）A7ab5a2bB（a+1a）2a2+1a2C（3a2b）26a4b2D3a2bb3a22（2020泸州）下列各式运算正确的是（）Ax2+x3x5Bx3x2xCx2x3x6D（x3）2x63（2020德州）下列运算正确的是（）A6a5a1Ba2a3a5C（2a）24a2Da6a2a34（2020苏州）下列运算正确的是（）Aa2a3a6Ba3aa3C（a2）3a5D（a2b）2a4b25（2020黔东南州）下列运算正确的是（）A（x+y）2x2+y2Bx3+x4x7Cx3x2x6D（3x）29x26（2020杭州）（1+y）（1y）（）A1+y2B1y2C1y2D1+y27（2020宁波）下列计算正确的是（）Aa3a2a6B（a3）2a5Ca6a3a3Da2+a3a58.（2019贵州遵义）下列计算正确的是（ ） (A)( a+b)2=a2+b2 (B) -(2a2)2=4a4 (C) a2+ a3=a5 (D)9（2019湖南怀化）单项式5ab的系数是（）A5B5C2D210（2019湖南株洲）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（）A2x5 B3x3y2Cx2y3Dy511.（2019黑龙江哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）A B C D12（2019湖南娄底）下列运算正确的是（）Ax2x3=x6 B（x3）3=x9 Cx2+x2=x4 Dx6x3=x213.（2019年广西柳州）计算x(x21)=( )Ax31 Bx3x Cx3+x D x2x14.（2019黑龙江龙东地区） 下列各运算中，计算正确的是（ ）Aa22a23a4Bb10b2b5C（mn）2m2n2D（2x2）38x615. （2019山东滨州）若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（） A4B8C4D8二、填空题16（2020重庆）计算：（1）0+|2| 17.（2019江苏常州）如果ab20，那么代数式12a2b的值是_18. (2019黑龙江大庆)a5a3_.19（2109湖南怀化）当a1，b3时，代数式2ab的值等于 20. (2019黑龙江绥化)计算:(m3)2m4_.21（2019湖南岳阳）已知x32，则代数式（x3）22（x3）+1的值为 3、 解答题22（2020温州）（1）计算：4-|2|+（6）0（1）（2）化简：（x1）2x（x+7）23（2020绍兴）（1）计算：8-4cos45+（1）2020（2）化简：（x+y）2x（x+2y）24（2020新疆）先化简，再求值：（x2）24x（x1）+（2x+1）（2x1），其中x=-225（2020齐齐哈尔）（1）计算：sin30+16-（3-3）0+|-12|26（2020重庆）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数“差一数”定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”例如：14524，14342，所以14是“差一数”；19534，但19361，所以19不是“差一数”（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”27（2020济宁）先化简，再求值：（x+1）（x1）+x（2x），其中x=1228.笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元。小红买3本笔记本，2支圆珠笔；小明买4本笔记本，3支圆珠笔。买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？29（2019湖南张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中a11，a23，公差为d2根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，的公差d为 ，第5项是 （2）如果一个数列a1，a2，a3，an，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d，所以a2a1+da3a2+d（a1+d）+da1+2d，a4a3+d（a1+2d）+da1+3d，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：ana1+（ ）d（3）4041是不是等差数列5，7，9的项？如果是，是第几项？