专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。（3）在函数中的应用。借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。（4）在几何中的应用。对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15时，如图在RtACB中，C90，ABC30，延长CB使BDAB，连接AD，得D15，所以tan15=ACCD=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3类比这种方法，计算tan22.5的值为（）A2+1B2-1C2D12【答案】B【分析】在RtACB中，C90，ABC45，延长CB使BDAB，连接AD，得D22.5，设ACBC1，则ABBD=2，根据tan22.5=ACCD计算即可【解析】在RtACB中，C90，ABC45，延长CB使BDAB，连接AD，得D22.5，设ACBC1，则ABBD=2，tan22.5=ACCD=11+2=2-1【对点练习】（2019湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A BCD【答案】C【解答】解：解不等式x10得x1，解不等式52x1得x2，则不等式组的解集为1x2【例题2】（2020济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法如图，直线yx+5和直线yax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5ax+b的解是（）Ax20Bx5Cx25Dx15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解【解析】直线yx+5和直线yax+b相交于点P（20，25）直线yx+5和直线yax+b相交于点P为x20【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k10）与y=k2x+b2（k20）相交于点（2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1b2等于 【答案】4 【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合如图，直线y=k1x+b1（k10）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k20）与y轴交于C，则OC=b2，ABC的面积为4，OAOB+=4，+=4，解得：b1b2=4【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上(1）小明发现DGBE，请你帮他说明理由(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出GHE与BHD面积之和的最大值，并简要说明理由【答案】见解析。【解析】（1）四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，AD=AB，DAG=BAE=90，AG=AE，在ADG和ABE中，ADGABE（SAS），AGD=AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，在ADG中，AGD+ADG=90，AEB+ADG=90，在EDH中，AEB+ADG+DHE=180，DHE=90，则DGBE；(2）四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，AD=AB，DAB=GAE=90，AG=AE，DAB+BAG=GAE+BAG，即DAG=BAE，在ADG和ABE中，ADGABE（SAS），DG=BE，如图2，过点A作AMDG交DG于点M，AMD=AMG=90，BD为正方形ABCD的对角线，MDA=45，在RtAMD中，MDA=45，cos45=，AD=2，DM=AM=，在RtAMG中，根据勾股定理得：GM=，DG=DM+GM=+，BE=DG=+；(3）GHE和BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于EGH，点H在以EG为直径的圆上，当点H与点A重合时，EGH的高最大；对于BDH，点H在以BD为直径的圆上，当点H与点A重合时，BDH的高最大，则GHE和BHD面积之和的最大值为2+4=6【对点练习】（2020山东日照模拟）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图1，在RtABC中，ACB=90，ABC=30，则：AC=AB探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：ACE为等边三角形；BE与CE之间的数量关系为 （2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边ADE，且点E在ACB的内部，连接BE试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标【答案】见解析。【解答】探究结论（1）如图1中，ACB=90，B=30，A=60，AC=AB=AE=EB，ACE是等边三角形，EC=AE=EB，故答案为EC=EB（2）如图2中，结论：ED=EB理由：连接PEACP，ADE都是等边三角形，AC=AD=DE，AD=AE，CAP=DAE=60，CAD=PAE，CADPAE，ACD=APE=90，EPAB，PA=PB，EA=EB，DE=AE，ED=EB（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为ED=EB拓展应用：如图3中，作AHx轴于H，CFOB于F，连接OAA（，1），AOH=30，由（2）可知，CO=CB，CFOB，OF=FB=1，可以假设C（1，n），OC=BC=AB，1+n2=1+（+2）2，n=2+，C（1，2+）一、选择题1（2020温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A（1.5+150tan）米B（1.5+150tan）米C（1.5+150sin）米D（1.5+150sin）米【答案】A【分析】过点A作AEBC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BCCE+BE即可得出结论【解析】过点A作AEBC，E为垂足，如图所示：则四边形ADCE为矩形，AE150，CEAD1.5，在ABE中，tan=BEAE=BE150，BE150tan，BCCE+BE（1.5+150tan）（m）2（2020恩施州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，EFAB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A. 4 B. 7 C. 3 D. 12 【答案】B 【解析】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用DE：EA=3：4，DE：DA=3：7EFAB，EF=3，解得：AB=7，四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=7故选B3（2020济南模拟）如图，抛物线y=2x2+8x6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（） A2m B3m C3m2D3m 【答案】D 【解析】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度令y=2x2+8x6=0，即x24x+3=0，解得x=1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y=2（x4）2+2（3x5），当y=x+m1与C2相切时，令y=x+m1=y=2（x4）2+2，即2x215x+30+m1=0，=8m115=0，解得m1= ，当y=x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=3，当3m 时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点。二、填空题4（2020乌鲁木齐模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1且过点（，0），