专题24 矩形问题1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2矩形的性质（1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线平分且相等。3矩形判定定理（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。4矩形的面积：S=ab（a、b分别表示矩形的长、宽）【例题1】（2020湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边ABa，BCb，DAOx，则点C到x轴的距离等于（）Aacosx+bsinxBacosx+bcosxCasinx+bcosxDasinx+bsinx【答案】A【解析】作CEy轴于E，由矩形的性质得出CDABa，ADBCb，ADC90，证出CDEDAOx，由三角函数定义得出ODbsinx，DEacosx，进而得出答案作CEy轴于E，如图：四边形ABCD是矩形，CDABa，ADBCb，ADC90，CDE+ADO90，AOD90，DAO+ADO90，CDEDAOx，sinDAO=ODAD，cosCDE=DECD，ODADsinDAObsinx，DEDcosCDEacosx，OEDE+ODacosx+bsinx，点C到x轴的距离等于acosx+bsinx.【对点练习】（2019贵州省铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A360B540C630D720【答案】C【解答】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630【例题2】（2020菏泽）如图，矩形ABCD中，AB5，AD12，点P在对角线BD上，且BPBA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为 【答案】317【解析】根据矩形的性质可得BD13，再根据BPBA可得DQDP8，所以得CQ3，在RtBCQ中，根据勾股定理即可得BQ的长矩形ABCD中，AB5，AD12，BADBCD90，BD=AB2+AD2=13，BPBA5，PDBDBP8，BABP，BAPBPADPQ，ABCD，BAPDQP，DPQDQP，DQDP8，CQDQCDDQAB853，在RtBCQ中，根据勾股定理，得BQ=BC2+CQ2=153=317【对点练习】（2019内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD中，AD8，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为点E，且AE平分BAC，则AB的长为 【答案】【解答】四边形ABCD是矩形AOCOBODO，AE平分BAOBAEEAO，且AEAE，AEBAEO，ABEAOE（ASA）AOAB，且AOOBAOABBODO，BD2AB，AD2+AB2BD2，64+AB24AB2，AB【例题3】（2020聊城）如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若ADAF，求证：四边形ABFC是矩形【答案】见解析。【解析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定ABEFCE，从而得到ABCF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BCAF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，BAECFE，ABEFCE，E为BC的中点，EBEC，ABEFCE（AAS），ABCFABCF，四边形ABFC是平行四边形，BCAF，四边形ABFC是矩形【对点练习】（2019湖北省鄂州市）如图，矩形ABCD中，AB8，AD6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DEDF时，求EF的长【答案】见解析。【解析】根据矩形的性质得到ABCD，由平行线的性质得到DFOBEO，根据全等三角形的性质得到DFBE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；推出四边形BEDF是菱形，得到DEBE，EFBD，OEOF，设AEx，则DEBE8x根据勾股定理即可得到结论（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，DFOBEO，又因为DOFBOE，ODOB，DOFBOE（ASA），DFBE，又因为DFBE，四边形BEDF是平行四边形；（2）解：DEDF，四边形BEDF是平行四边形四边形BEDF是菱形，DEBE，EFBD，OEOF，设AEx，则DEBE8x在RtADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2DE2x2+62（8x）2，解之得：x，DE8，在RtABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2BD2BD，OD BD5，在RtDOE中，根据勾股定理，有DE2 OD2OE2，OE，EF2OE一、选择题1（2020怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A4B6C8D10【答案】C【解析】根据矩形的性质得到OAOBOCOD，推出SADOSBCOSCDOSABO2，即可求出矩形ABCD的面积四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，ACBD，且OAOBOCOD，SADOSBCOSCDOSABO2，矩形ABCD的面积为4SABO8，2（2020达州）如图，BOD45，BODO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F下列4个判断：OE平分BOD；OFBD；DF=2AF；若点G是线段OF的中点，则AEG为等腰直角三角形正确判断的个数是（）A4B3C2D1【答案】A【解析】由矩形得EBEDEA，BAD为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断的正误；证明AOFABD，便可判断的正误；连接BF，由线段的垂直平分线得BFDF，由前面的三角形全等得AFAB，进而便可判断的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得AGOG，进而求得AGE45，由矩形性质得EDEA，进而得EAD22.5，再得EAG90，便可判断的正误四边形ABCD是矩形，EBED，BODO，OE平分BOD，故正确；四边形ABCD是矩形，OADBAD90，ABD+ADB90，OBOD，BEDE，OEBD，BOE+OBE90，BOEBDA，BOD45，OAD90，ADO45，AOAD，AOFABD（ASA），OFBD，故正确；AOFABD，AFAB，连接BF，如图1，BF=2AF，BEDE，OEBD，DFBF，DF=2AF，故正确；根据题意作出图形，如图2，G是OF的中点，OAF90，AGOG，AOGOAG，AOD45，OE平分AOD，AOGOAG22.5，FAG67.5，ADBAOF22.5，四边形ABCD是矩形，EAED，EADEDA22.5，EAG90，AGEAOG+OAG45，AEG45，AEAG，AEG为等腰直角三角形，故正确；故选：A3.（2019广东广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE3，AF5，则AC的长为（）A4B4C10D8【答案】A 【解析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OAOC，AECE，证明AOFCOE得出AFCE5，得出AECE5，BCBE+CE8，由勾股定理求出AB4，再由勾股定理求出AC即可连接AE，如图：EF是AC的垂直平分线，OAOC，AECE，四边形ABCD是矩形，B90，ADBC，OAFOCE，在AOF和COE中，AOFCOE（ASA），AFCE5，AECE5，BCBE+CE3+58，AB4，AC4；故选：A4（2019山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4CD【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP由中位线定理可知：P1PCE且P1PCF点P的运动轨迹是线段P1P2，当BPP1P2时，PB取得最小值矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12ADECDECP1B45，DEC90DP2P190DP1P245P2P1B90，即BP1P1P2，BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1BC2BP12PB的最小值是25.（2019湖北荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在MON的边OM，ON上，若OAOC，要求只用无刻度的直尺作MON的平分线小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分MON有以下几条几何性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，等腰三角形的“三线合一”小明的作法依据是（）ABCD【答案】C【解析】四边形ABCD为矩形，AECE，而OAOC，OE为AOC的平分线二、填空题6（2020绍兴）将两条邻边长分别