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初二数学初二数学反比例函数反比例函数华东师大版华东师大版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教学内容: 反比例函数教学目标 1. 理解反比例函数的意义,会画出反比例函数的图像; 2. 能根据图像和关系式探索并理解反比例函数的性质; 3. 能用反比例函数解决某些简单的实际问题。教学重点 反比例函数图像及性质应用教学内容一、知识梳理: 1. 反比例关系的概念 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。比方,甲、乙两地的距离是 100 千米,那么汽车从甲地到乙地所用的时间 t 与行驶的速度 v 之间的关系是 vt100。 2. 反比例函数的概念 1定义:一般地,如果两个变量 x,y 之间的关系可以表示成k 为常数,ykxk0的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数。 2自变量 x 的取值范围是 x0,函数 y 的取值范围是 y0。 3. 反比例函数的几种等价形式 y 是 x 的反比例函数变量ykxkykxkxyk k()()()0001y 与 x 成反比例比例系数为 k。 4. 反比例关系解析式确实定 由于反比例函数的解析式中只有一个待定系数 k,确定了 k 的值,也就确定了ykx反比例函数,因而一般只需给出一组 x,y 的对应值,然后代入中即可求出 k 的值。ykx从而可确定反比例函数的解析式。 5. “反比例关系与“反比例函数的区别与联系 xykk 为常数,且 k0,那么 x 与 y 这两个量成反比例关系。这里的 x,y 既可代表单独的字母,也可表示其他代数式。比方 y3 与 x11 成反比例,那么,但不能说是反比例函数。又如,y 与 x2成反比例,那么,但同样ykx311ykx2不能说 y 是 x 的反比例函数。成反比例的关系式,不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系。 6. 反比例函数图像的画法 反比例函数的画法与一次函数类似,步骤为列表、描点、连线。 列表时,因为反比例函数的自变量的取值范围是 x0,故在画反比例函数的图像时,为了使描出的点具有代表性,x 应该取一局部正数,取一局部负数,一般是正数、负数各取一半,并且互为相反数。这样既可简化运算,又便于描点。 描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样方便连线。连线时,所连的线必须是“光滑的曲线。比方,画反比例函数的图像。yx6 列表:x654321123456yx612366321 描点,连线: 7. 反比例函数的性质: 反比例函数:ykxkykxxyk() ()或,01 图像:双曲线 性质:1k0 时, 函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。 2k0 时 函数图像的两个分支分别在第二、四象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大。【典型例题典型例题】 例 1. 反比例函数,当时,y 随 x 的增大而增大,求函数关系式。yaxa()226x 0 分析:分析:根据反比例函数的定义性质来解此题。 解:解:是反比例函数,yaxa()226 aa26120 , 当时,即在第一或第四象限内,y 随 x 的增大而增大;x 0 所以aaaaaa 2061205252, 即当时,y 随 x 的增大而增大。a 5 方法点拨:方法点拨:函数是反比例函数,那么是反比例函ykxmmkykxm 10, ;若数,那么。mk 10, 例 2. 反比例函数在第一象限内的图像如下图,P 为该图像上任意一点,ykxk()0PQ 垂直于 x 轴,垂足为 Q。设POQ 的面积为 S,那么 S 的值与 k 的值是否存在关系?假设有关系,请写出 S 与 k 之间的关系式;假设没有关系,请说明理由。 分析:分析:因为,假设设 P 点坐标为 Px,y,那么SOQPQPOQ12,又因为 P 点在第一象限,所以,因此可以得到OQxPQy| | |,xy00,xy,而由可以得到 xyk,于是可以确定 S 与 k 的关系式。SPOQ12ykx 解:解:S 与 k 之间的关系式为Sk12 设 P 点的坐标为 Px,y,那么 OQxPQy| | |, 点 P 在第一象限内,xy00, OQx,PQy SOQPQxyPOQ1212 又xykSkPOQ,12 例 3. 如图,过原点 O 作一直线与双曲线交于 P、Q,过 P、Q 分别做 x 轴,y 轴yx5的垂线,交于 B 点,求三角形 PQB 的面积。 分析:分析:点 P 在双曲线上,那么 P 点坐标适合函数,P、Q 关于原点 O 对称,所yx5以 OPOQ,且 OA 是PBQ 的中位线。 解:解:设 P 点坐标为a,b,那么ba5 abOAAP55,即: 又P、Q 关于原点 O 对称 OPOQ 又BQx 轴,所以 OA 是BPQ 的中位线 BQ2OA2a,同理可求 PB2b SPBBQababPBQ121222210 例 4. 反比例函数与一次函数的图像都经过点2,1,且在ymxykxbx3 时两函数值相等,求这两个函数的解析式。 分析:分析:确定反比例函数解析式,只需知道一个点坐标,而确定一次函数解析式,那么需两点坐标。 解:解:由题意知点2,1在反比例函数图像上ymx 那么m ()()212 所以反比例函数解析式为yx2 又因为在 x3 时,函数值为yx223 根据 x3 时,两函数值相等 可知 x3 时,满足一次函数y 23ykxb 并且点2,1在一次函数图像上ykxb 那么23312 kbkb 解得:kb 1313 所以,一次函数解析式为yx1313 例 5. 海南如下图,反比例函数的图像与一次函数的图像相交yx12ykx 4于 P、Q 两点,并且 P 点的纵坐标是 6。 1求这个一次函数的解析式; 2求POQ 的面积 分析:分析:由条件 P 点的纵坐标是 6,而点 P 在反比例函数上,可以求得 P 点的横yx12坐标为 x2,即 P 点坐标为2,6。 又 P 点也在一次函数上,把点2,6代入即可求出一次函数的解析式。ykx 4POQ 的面积可以分成PON 与QON 两局部,这两局部的面积能通过 P、Q 两点的坐标得到。 解:解:1点 P 在反比例函数的图像上,且其纵坐标为 6,yx12 126x 解得x 2 P2,6 又点 P 在函数的图像上,ykx 4 624k 解得 k1 所求一次函数的解析式为 yx4 2解方程组yxyxxyxy 41262261122,得, 点 Q 的坐标为6,2 令,代入,解得y 0yx 4x 4 函数的图像与 x 轴的交点是 N4,0yx4 PON 和QON 的公共边 ON4,ON 边上的高分别为 PA6,QB2, SSSPOQPONQON 1246124216 技巧点拨:技巧点拨:此题涉及一次函数及反比例函数的图像。识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键。 例 6. 如下图,一次函数 ykxb 的图像与反比例函数的图像交于 A、B 两点。ymx 1利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式; 2根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围。 分析:分析:要求反比例解析式,须知它图像上一点的坐标即可。而要求一次函数的图像,须知道一次函数图像上的两点即可。点 A、B 在一次函数图像上,点 B 点 A 又都在反比例图像上,故可先求出 m、n 的值,得 A、B 点坐标。 由图像可看出,在第二象限内,当时,一次函数的图像在反比例函数上方,即x 2一次函数的值大于反比例函数的值。当时,一次函数的值小于反比例函数的值。 20 x同理可讨论第四象限内的情况。 解:解:1由图像可知,点 A 在反比例函数的图像上。 把Aymxmm() 21122, 代入,得, 反比例函数的解析式为。yx 2 又点 B1,n在反比例函数的图像上, 把点 B1,n代入yxn 22,得 点 B 的坐标为1,2 把点 A2,1,B1,2代入一次函数,得ykxb 21211kbkbkb, 一次函数的解析式为。yx 1 2根据图像可知,当一次函数的图像在反比例函数的图像上方时,一次函数的值大于反比例函数的值。 当时,一次函数的值大于反比例函数的值。xx 201或 发散点:发散点:函数解析式与图像的应用是中考考查的重点内容,利用图像解答问题是考查分析问题、观察问题的能力的有效题型,而采用数形结合是解答此类问题的关键。 例 7. 选择题 假设 ab0,那么函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是图中yaxybx与的 分析:分析:A. b0,a0;B. a0,b0;C. 排除;D. a0,b0 选 B 如下图,在同一坐标系中,正比例函数与反比例函数的图像ymx() 1ymx4的大体位置不可能是 分析:分析:观察图像。ymx4 A、B 中 m0 而m1不明确是大于 0 还是小于 0 排除 A、B C、D 中,m0,那么 m10,选 C。 函数在同一坐标系中的图像大致是 yk xkkykxk1112200()()与A B C D 分析:分析:由知应在 C、D 中选,k20 又k10 应选 D 例 8. 成正比例,y2与 x 成反比例,假设时,yyyyx321212,且 与x 1y1;x2 时,y2。求当 x3 时 y 的值。 分析:分析:因为成正比例,y2与 x 成反比例,可设,所以yx12与yk xykx11222,然后将 x 与 y 的对应值代入即可求得 k1,k2的值,从而得 y 与 x 的函yk xkx32122数表达式。利用所求的函数表达式进而可求出当 x3 时对应的 y 值。 解:解:设,yk xykx11222, ,yyyyk xkx323212122 分别将 x,y 的对应值代入函数式中得: 1322121212kkkk 解这个方程组得:kk121727 函数 y 与 x 的关系式为:yxx37472 当 x3 时,y 37347385212 说明:说明:1用待定系数法求函数关系式是常用的重要方法,一定要掌握好;2此题 y1与 x2之间的正比例系数和 y2与 x 之间的反比例系数不一定相等,应分别设为k1,k2,假设只用一个比例系数 k,把函数关系式设为,那是错误的,这一ykxkx322点要特别引起注意。 例 9. 北京市西城区:反比例函数和一次函数 ymxn 的图像的一个交点为ykxA3,4,且一次函数的图像与 x 轴的交点到原点的距离为 5,分别确定反比例函数与一次函数的解析式。 分析:分析:理解一次函数的图像与 x 轴交点到原点的距离为 5,可知此点坐标为5,0或5,0,又因为反比例函数与一次函数相交,可判断 A 点坐标确ykxymxn实切值。 解:解:由的图像过3,4ykx 得4312 kk, 所以yx 12 又43051252 mnmnmn,解得 所以一次函数解析式为yx 1252 例 10. 一次函数的图像经过点 A0,1和点 Ba,3a,a0,且点 Bykxb在反比例函数的图像上。yx 3 1求 a 的值; 2求一次函数的解析式; 3利用函数的图像,求当这个一次函数 y 的值在范围内,相应的 x 值的 13y取值范围; 4如果是这个一次函数图像上的两点,试比拟P myQ my()(),121的大小。yy12与 解:解:1因为点 Ba,3a在上,那么a1。yx 3 3312aaa, 又 a0,所以 a1; 2因为直线 ykxb 过点0,1和1,3 所以bkbkb 1321解得 故 y2x1; 3因为 y2x1 是减函数,当 y1 时,x1,当 y3 时,x1 所以相应的 x 值为 ;11 x 4因为。mmyy112,所以 例 11. 四川省如下图,一次函数的图像与反比例函数的图像交于ykxbyx 8A、B 两点,且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是2。 求:1一次函数的解析式; 2AOB 的面积。 解:解:1因为 A 点横坐标为2,那么纵坐标为 4,B 点纵坐标为2,那么横坐标为4。 所以 A2,4,B4,2 由422412 kbkbkb,解得 故一次函数
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