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第三节排序不等式 解答题1假设a1a2an,而b1b2bn或a1a2an而b1b2bn,证明:.当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号成立证明不妨设a1a2an,b1b2bn.那么由排序原理得:a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1a1b1a2b2anbna1b3a2b4an1b1anb2a1b1a2b2anbna1bna2b1anbn1.将上述n个式子相加,得:n(a1b1a2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn)上式两边除以n2,得:.等号当且仅当a1a2an或b1b2bn时成立2设a1,a2,an为实数,证明: .证明不妨设a1a2a3an由排序原理得aaaaa1a1a2a2a3a3anan.aaaaa1a2a2a3a3a4ana1aaaaa1a3a2a4a3a5ana2aaaaa1ana2a1a3a2anan1以上n个式子两边相加n(aaaa)(a1a2a3an)2两边同除以n2得2所以 结论得证3设a1,a2,an为正数,求证:a1a2an.证明不妨设a1a2an0,那么有aaa也有BC,那么有abc由排序原理:顺序和乱序和aAbBcCaBbCcAaAbBcCaCbAcBaAbBcCaAbBcC上述三式相加得3(aAbBcC)(ABC)(abc)(abc).法二不妨设ABC,那么有abc,由排序不等式,即aAbBcC(abc),.5设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3b3c33abc.证明不妨设abc0,a2b2c2,由排序原理:顺序和反序和,得:a3b3a2bb2a,b3c3b2cc2bc3a3a2cc2a三式相加得2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)又a2b22ab,b2c22bc,c2a22ca.所以2(a3b3c3)6abc,a3b3c33abc.当且仅当abc时,等号成立6设a,b,c是正实数,求证:aabbcc(abc).证明不妨设abc0,那么lg alg blg c.据排序不等式有:alg ablg bclg cblg aclg balg calg ablg bclg cclg aalg bblg calg ablg bclg calg ablg bclg c上述三式相加得:3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)即lg(aabbcc)lg(abc)故aabbcc(abc).7设xi,yi (i1,2,n)是实数,且x1x2xn,y1y2yn,而z1,z2,zn是y1,y2,yn的一个排列求证: (xiyi)2 (xizi)2.证明要证 (xiyi)2 (xizi)2只需证y2xiyiz2xizi.因为yz,只需证xizixiyi.而上式左边为乱序和,右边为顺序和由排序不等式得此不等式成立故不等式 (xiyi)2 (xizi)2成立8a,b,c为正数,且两两不等,求证:2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)证明不妨设abca2b2c2,abacbc,a2(ab)b2(ac)c2(bc)a2(bc)b2(ac)c2(ab),即a3c3a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab),又a2b2c2,abc,a2bb2aa3b3,b2cc2bb3c3.即a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab)
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