第三节排序不等式 解答题1假设a1a2an，而b1b2bn或a1a2an而b1b2bn，证明：.当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号成立证明不妨设a1a2an，b1b2bn.那么由排序原理得：a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1a1b1a2b2anbna1b3a2b4an1b1anb2a1b1a2b2anbna1bna2b1anbn1.将上述n个式子相加，得：n(a1b1a2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn)上式两边除以n2，得：.等号当且仅当a1a2an或b1b2bn时成立2设a1，a2，an为实数，证明： .证明不妨设a1a2a3an由排序原理得aaaaa1a1a2a2a3a3anan.aaaaa1a2a2a3a3a4ana1aaaaa1a3a2a4a3a5ana2aaaaa1ana2a1a3a2anan1以上n个式子两边相加n(aaaa)(a1a2a3an)2两边同除以n2得2所以 结论得证3设a1，a2，an为正数，求证：a1a2an.证明不妨设a1a2an0，那么有aaa也有BC，那么有abc由排序原理：顺序和乱序和aAbBcCaBbCcAaAbBcCaCbAcBaAbBcCaAbBcC上述三式相加得3(aAbBcC)(ABC)(abc)(abc).法二不妨设ABC，那么有abc，由排序不等式，即aAbBcC(abc)，.5设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3b3c33abc.证明不妨设abc0，a2b2c2，由排序原理：顺序和反序和，得：a3b3a2bb2a，b3c3b2cc2bc3a3a2cc2a三式相加得2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)又a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.所以2(a3b3c3)6abc，a3b3c33abc.当且仅当abc时，等号成立6设a，b，c是正实数，求证：aabbcc(abc).证明不妨设abc0，那么lg alg blg c.据排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg calg ablg bclg cclg aalg bblg calg ablg bclg calg ablg bclg c上述三式相加得：3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)即lg(aabbcc)lg(abc)故aabbcc(abc).7设xi，yi (i1,2，n)是实数，且x1x2xn，y1y2yn，而z1，z2，zn是y1，y2，yn的一个排列求证： (xiyi)2 (xizi)2.证明要证 (xiyi)2 (xizi)2只需证y2xiyiz2xizi.因为yz，只需证xizixiyi.而上式左边为乱序和，右边为顺序和由排序不等式得此不等式成立故不等式 (xiyi)2 (xizi)2成立8a，b，c为正数，且两两不等，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)证明不妨设abca2b2c2，abacbc，a2(ab)b2(ac)c2(bc)a2(bc)b2(ac)c2(ab)，即a3c3a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab)，又a2b2c2，abc，a2bb2aa3b3，b2cc2bb3c3.即a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab)