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【立体设计】高考数学 第3章 第4节 导数的实际应用挑战真题福建版1.(山东某生产厂家的年利润y(:万元与年产量x:万件的函数关系式为y=-x3+81x-234,那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 解析:y=-x2+81,令y=0,解得x=9(-9舍去).当0x0;当x9时,y0,那么当x=9时,y取得最大值,应选C.答案:C2.(湖南某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1试写出y关于x的函数关系式;2当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解:1设需新建n个桥墩,那么n+1)x=m,即,(2)由1知, 令得,所以x=64.当0x64时,f(x)0,f(x)在区间0,64内为减函数;当64x0,f(x)在区间64,640内为增函数.所以f(x)在x=64处取得最小值.此时故需新建9个桥墩才能使y最小.3.江苏如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20 km,BC=10 km.为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上含边界,且与A、B的总长度为y km.1按以下要求建立函数关系:设BAO=rad,将y表示为的函数;设PO=x(km),将y表示为x的函数.2请你选用1中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道的总长度最短.解:1如图,延长PO交AB于点Q,由题设可知BQ=AQ=AB=10,AO=BO,PO=10-OQ.在RtAQO中,AO=,OQ=10tan ,所以y=AO+BO+PO=+10-10tan .又易知0,故y用表示的函数为y=-10tan +10(0).由题设可知,在RtAQO中,那么y=AO+BO+PO=显然0x10,所以y用x表示的函数为2选用1中的函数关系y=-10tan +10(0)来确定符合要求的污水处理厂的位置.因为y=-10tan +10=-10+10,所以由因为0,所以=.当0,时,y0,所以函数y在=时取得极小值,这个极小值就是函数y在上的最小值.当=时,AO=BO=(km).因此,当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为km时,铺设的排污管道的总长度最短.
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