2021年10月9日星期六,平面的基本性质（3）,三个公理及推论的应用,平面的基本性质,公理1:如果一条直线上的两个点在平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.,公理2:过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。,平面的基本性质,推论1:经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.,平面的基本性质,推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.,平面的基本性质,推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.,（）,（）,（）,（）,练习,看看答案吧,看看答案吧,3,3或4,4，6，7或8,（3)两个平面的公共点的个数可能有.( ),（4)三个平面两两相交,则它们交线的条数( ),（A）0 （B）1 （C）2 （D）或无数,（A)最多4条最少3条 （B）最多3条最少1条 （C)最多3条最少2条 （D）最多2条最少1条,D,B,3个平面,（2）,（3）,（4）,（5）,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出过M、N、P三点的截面。,例4：,A,D,C,B,A1,B1,C1,D1,M,P,N,A,D,C,A1,B1,C1,D1,B,N,M,P,A,D,C,A1,B1,C1,D1,P,N,M,B,应用：,一、证明三点共线问题：,证明三点共线的方法： 1先由两点确定一条直线，然后证明另一个点也在此直线上； 2证明三点在两平面的交线上；,二、证明三线共点问题：,例题3：四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，求证：EF、GH、BD交于一点。,证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又往往是两平面的交线,三、画平面交线问题,已知：直线abc,al=A,bl=B,cl=C求证：a,b,c,l共面,a,A,证明：,又al=A,bl=B,ab,a,b,c,l共面,b,c,B,C,l,例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图),解：这三条直线共面，因为直线AB和直线AC相交于点A，所以直线AB和AC确定一个 平面.(推论2),因为BAB，CAC，所以B，C，故BC (公理1),因此直线AB，BC，CA都在平面内，即它们共面.,四、证明共面问题,解法二:因为A在直线BC外，所以过点A和直线BC确定平面.(推论1)，因为A，BBC，所以B.故AB ，同理AC ，所以AB，AC，BC共面.,解法三:因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面.(公理3)因为A，B，所以AB .(公理1)同理BC ，AC ，所以AB，BC，CA三直线共面.,证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合,题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。,方法一：利用公理3,方法二：利用推论,方法三：利用推论,练习证明两两相交而不通过同一点的四条直线 必在同一平面内。,分析：,（1）直线a、b、c、d两两相交，不过同一点且无三线共点。 设直线a、b相交点A，a、c相交点C，b、c相交点B,（2）若有三线共点，设相交于点A,1.三个公理的符号表示及其作用2.公理3的三个推论：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面3.公理3及其三个推论的作用是确定平面4.证明若干个点、线共面的方法(先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、线落在此平面内),五、【小结】,3条直线相交于一点时：,三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，最多可以确定3个。,（1）、3条直线共面时,（2）、每2条直线确定一平面时,4条直线相交于一点时：,三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，最多可以确定6个。,（1）、4条直线全共面时,（2）、有3条直线共面时,（c）、每2条直线都确定一平面时,2个平面分空间有两种情况：,两个平面把空间分成3或4个部分。,（1）两平面没有公共点时,（2）两平面有公共点时,3个平面,（2）,（3）,（4）,（5）,3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。,